Formulario Completo de Matemáticas: Cálculo, Geometría y Trigonometría

Formulario de Matemáticas

Representación de Funciones y Cálculo

• Dominio ($f(x)$) y Cortes con los ejes.
• Simetría:
  • Par: $f(x) = f(-x)$
  • Impar: $f(-x) = -f(x)$
• Asíntotas:
  • Horizontal (H): $\lim f(x) = n$
  • Vertical (V): $\lim f(x) = \infty$
  • Oblicua (O): $y = mx + n$, donde $m = \lim \frac{f(x)}{x}$ y $n = \lim (f(x) - mx)$
• Monotonía y Extremos ($f'(x)$): $f'(x) = 0$
• Curvatura y Puntos de Inflexión ($f''(x)$): $f''(x) = 0$ ($x > 0 \cup x < 0$)

Geometría Vectorial y Ecuaciones de la Recta

• Vector entre dos puntos: $\vec{V} = (X_b - X_a, Y_b - Y_a)$
• Pendiente: $m = \frac{V_y}{V_x}$
• Ecuación Vectorial: $(x, y) = (X_p, Y_p) + t(V_x, V_y)$
• Ecuaciones Paramétricas:
  • $x = X_p + t V_x$
  • $y = Y_p + t V_y$
  • (Despejar $t$ e igualar para otras formas)
• Forma General: $Ax + By + C = 0$
• Punto-Pendiente: $y - Y = m(x - X)$
• Explícita: $y = mx + b$ ($b = \text{ordenada en el origen}$)
• Canónica
• Posiciones relativas de dos rectas:
  • SCI: Coincidentes
  • SI: Paralelas
  • CD: Secantes
• Distancia entre rectas y Ángulo entre dos rectas

Trigonometría

• Identidades fundamentales:
  • $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$
  • $1 + \operatorname{tg}^2 x = \sec^2 x$
  • $1 + \cot^2 x = \csc^2 x$
• Ángulo doble:
  • $\sin(2x) = 2 \sin x \cos x$
  • $\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x$
• Suma de ángulos:
  • $\sin(x+b) = \sin x \cos b + \sin b \cos x$
  • $\cos(x+b) = \cos x \cos b - \sin x \sin b$
  • $\operatorname{tg}(x+b) = \frac{\operatorname{tg} x + \operatorname{tg} b}{1 - \operatorname{tg} x \operatorname{tg} b}$
• Resta de ángulos: Cambiar todos los signos correspondientes.
• Teorema del Seno: $\frac{\sin a}{a} = \frac{\sin b}{b}$
• Teorema del Coseno: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos a$
• Arcos, vectores y módulos: $\operatorname{arctan}\left(\frac{b}{a}\right)$

Números Complejos

• Forma Binómica: $a + bi$
• Forma Polar: $\text{módulo} \angle \text{argumento}$ (Trigonométrica: $\text{módulo}(\cos \theta + i \sin \theta)$)
• Suma y Resta: Se realizan en forma binómica.
• Multiplicación: En forma polar se multiplican los módulos y se suman los ángulos. En binómica se opera algebraicamente.
• División: $z_1 / z_2$, en binómica multiplicando por el conjugado.
• Potencias de $i$:
  • $i = \sqrt{-1}$
  • $i^2 = -1$
  • $i^3 = -i$
  • $i^4 = 1$
• Raíces: En forma polar (dividiendo ángulo entre $n$).