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Métodos de factorización algebraica: factor común, diferencia de cuadrados, cubos y trinomios

MatemáticasActualizado el 493,18 KB

Resumen

El documento explica los principales métodos para factorizar expresiones algebraicas: factor común, diferencia de cuadrados, suma o diferencia de cubos y tres tipos de trinomios. Para cada método indica los pasos a seguir y muestra ejemplos resueltos. También propone un orden de preguntas para identificar qué técnica aplicar a cada expresión.

Puntos clave

  • Factor común: se localiza el factor presente en todos los términos y se extrae delante de un paréntesis.
  • Diferencia de cuadrados: a² − b² = (a − b)(a + b).
  • Suma o diferencia de cubos: x³ − y³ = (x − y)(x² + xy + y²) y x³ + y³ = (x + y)(x² − xy + y²).
  • Trinomio de la forma x² + bx + c: se buscan dos números que sumen b y multipliquen c.
  • Trinomio con coeficiente ax² + bx + c: se multiplica y divide por a y luego se factoriza según el caso anterior.
  • Trinomio cuadrado perfecto: a² ± 2ab + b² = (a ± b)², con el término central igual al doble producto de las raíces de los extremos.
  • Antes de factorizar conviene revisar en orden: factor común, diferencia de cuadrados, suma o diferencia de cubos y, por último, trinomios.

Ponte a prueba

1. ¿Hay algo en común? (Factor Común)

  • 1) Identificación: Localizar el factor común en todos los términos.
  • 2) Extracción: Colocar el factor común delante multiplicando y abrir paréntesis.
  • 3) Factorización: Dentro del paréntesis, colocar los factores de cada término que no se repiten, manteniendo su signo original.

ab + ac + ad + a² = a(b + c + d - a)

9x²y - 12xy² = 3xy(3x - 4y)

2. Diferencia de cuadrados

Se aplica cuando tenemos dos términos restándose.

  • 1) Se extrae la raíz cuadrada de ambos términos.
  • 2) Se multiplica la suma por la diferencia de estas cantidades.

x² - y² = (x - y)(x + y)

4a² - 9b² = (2a - 3b)(2a + 3b)

Referencias: √4=2, √9=3, √a²=a, √b²=b

3. Suma o diferencia de cubos

Se aplica en binomios (dos términos).

  • 1) Sacar la raíz cúbica de los dos factores.
  • 2) El primer paréntesis es la suma o resta de sus raíces cúbicas (será el mismo signo que en la operación original).
  • 3) El segundo paréntesis se compone del cuadrado de la primera raíz, más o menos el producto de ambas raíces, más el cuadrado de la segunda raíz.

Nota: Si la operación original es negativa, todo el segundo paréntesis será positivo; si es positiva, el término central del segundo paréntesis será negativo.

x³ - y³ = (x - y)(x² + xy + y²)

x³ + y³ = (x + y)(x² - xy + y²)

27a³ - 64b³ = (3a - 4b)(9a² + 12ab + 16b²)

El término central del segundo paréntesis es la multiplicación del primer término por el segundo.

4. Trinomios

Trinomio de la forma x² + bx + c

¿Cómo reconocerlo?

  • Debe estar ordenado por exponentes decrecientes.
  • El primer término no tiene coeficiente numérico (o es 1).
  • El segundo término contiene la raíz cuadrada del primero.

Ejemplo: x² + 3x - 10 = (x + 5)(x - 2)

  1. Extraer la raíz cuadrada del primer término (debe ser positivo).
  2. Abrir dos paréntesis.
  3. Colocar la raíz al inicio de cada paréntesis.
  4. El primer signo se escribe en el primer paréntesis; el segundo signo es el resultado de la multiplicación de los signos (+·+=+, -·-=+, +·-=-, -·+=-).
  5. Buscar dos números que sumados den el segundo término y multiplicados den el tercero.
  6. El número mayor siempre se coloca en el primer paréntesis.

Trinomio con coeficiente (ax² + bx + c)

¿Cómo reconocerlo?

  • El primer término tiene una letra con raíz cuadrada exacta.
  • La raíz del primer término está presente en el segundo.
  • El término con mayor exponente tiene un coeficiente distinto de 1.

3x² - 5x - 2 = 4P9wPEzMDFhGYAAAAASUVORK5CYII= va3iyVLlqRny2jnDSISCAQCgVEQZCRQGRQRBavrrbdemrCqjdezOQKBQCAQGB5F8f+EKmnN7wYCaQAAAABJRU5ErkJggg==

  1. Multiplicar y dividir todo por el coeficiente del primer término.
  2. Factorizar según el caso anterior.
  3. Simplificar mediante la división.

NWSpIMw5Xr5HUsVmjvu+pBHoYC42NK8xqMnmtvH37Hw49osU3HpE4AAAAAElFTkSuQmCC

Trinomio cuadrado perfecto

¿Cómo reconocerlo?

  • Los términos de los extremos deben ser positivos y tener raíz cuadrada exacta.
  • El término central debe ser el doble producto de las raíces de los extremos (2 · a · b).

a² - 10a + 25 = (a - 5)²

49m⁶ + 70m³n³ + 25n⁶ = (7m³ + 5n³)²

Preguntas de orden para factorizar:

  1. ¿Hay factor común?
  2. ¿Es diferencia de cuadrados?
  3. ¿Es suma o diferencia de cubos?
  4. ¿Es un trinomio? (Verificar si es cuadrado perfecto, de la forma x²+bx+c o con coeficiente).

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Preguntas frecuentes

¿Cómo se factoriza una diferencia de cuadrados?

Se extrae la raíz cuadrada de ambos términos y se multiplica la suma por la diferencia de esas cantidades. Por ejemplo, 4a² − 9b² = (2a − 3b)(2a + 3b).

¿Cómo reconocer un trinomio cuadrado perfecto?

Los términos de los extremos deben ser positivos y tener raíz cuadrada exacta, y el término central debe ser el doble producto de esas raíces. Por ejemplo, a² − 10a + 25 = (a − 5)².

¿Qué orden seguir para elegir el método de factorización?

Primero se busca factor común, después se comprueba si es diferencia de cuadrados, luego si es suma o diferencia de cubos y, por último, si es un trinomio.

Ponte a prueba

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Test

1. ¿Cuál es la factorización de x² − y²?
2. ¿Qué factor común tiene la expresión 9x²y − 12xy²?
3. ¿Cómo se factoriza x³ + y³ según el texto?
4. En un trinomio de la forma x² + bx + c, ¿qué números hay que buscar?
5. ¿Cuál es el término central de un trinomio cuadrado perfecto con extremos a² y 25?
6. ¿Cómo se factoriza a² − 10a + 25?

Preguntas generadas con IA a partir del documento: comprueba las respuestas con el texto.