Métodos de Factorización Algebraica: Técnicas y Ejemplos Resueltos

1. ¿Hay algo en común? (Factor Común)

• 1) Identificación: Localizar el factor común en todos los términos.
• 2) Extracción: Colocar el factor común delante multiplicando y abrir paréntesis.
• 3) Factorización: Dentro del paréntesis, colocar los factores de cada término que no se repiten, manteniendo su signo original.

ab + ac + ad + a² = a(b + c + d - a)

9x²y - 12xy² = 3xy(3x - 4y)

2. Diferencia de cuadrados

Se aplica cuando tenemos dos términos restándose.

• 1) Se extrae la raíz cuadrada de ambos términos.
• 2) Se multiplica la suma por la diferencia de estas cantidades.

x² - y² = (x - y)(x + y)

4a² - 9b² = (2a - 3b)(2a + 3b)

Referencias: √4=2, √9=3, √a²=a, √b²=b

3. Suma o diferencia de cubos

Se aplica en binomios (dos términos).

• 1) Sacar la raíz cúbica de los dos factores.
• 2) El primer paréntesis es la suma o resta de sus raíces cúbicas (será el mismo signo que en la operación original).
• 3) El segundo paréntesis se compone del cuadrado de la primera raíz, más o menos el producto de ambas raíces, más el cuadrado de la segunda raíz.

Nota: Si la operación original es negativa, todo el segundo paréntesis será positivo; si es positiva, el término central del segundo paréntesis será negativo.

x³ - y³ = (x - y)(x² + xy + y²)

x³ + y³ = (x + y)(x² - xy + y²)

27a³ - 64b³ = (3a - 4b)(9a² + 12ab + 16b²)

El término central del segundo paréntesis es la multiplicación del primer término por el segundo.

4. Trinomios

Trinomio de la forma x² + bx + c

¿Cómo reconocerlo?

• Debe estar ordenado por exponentes decrecientes.
• El primer término no tiene coeficiente numérico (o es 1).
• El segundo término contiene la raíz cuadrada del primero.

Ejemplo: x² + 3x - 10 = (x + 5)(x - 2)

1. Extraer la raíz cuadrada del primer término (debe ser positivo).
2. Abrir dos paréntesis.
3. Colocar la raíz al inicio de cada paréntesis.
4. El primer signo se escribe en el primer paréntesis; el segundo signo es el resultado de la multiplicación de los signos (+·+=+, -·-=+, +·-=-, -·+=-).
5. Buscar dos números que sumados den el segundo término y multiplicados den el tercero.
6. El número mayor siempre se coloca en el primer paréntesis.

Trinomio con coeficiente (ax² + bx + c)

¿Cómo reconocerlo?

• El primer término tiene una letra con raíz cuadrada exacta.
• La raíz del primer término está presente en el segundo.
• El término con mayor exponente tiene un coeficiente distinto de 1.

3x² - 5x - 2 =

1. Multiplicar y dividir todo por el coeficiente del primer término.
2. Factorizar según el caso anterior.
3. Simplificar mediante la división.

Trinomio cuadrado perfecto

¿Cómo reconocerlo?

• Los términos de los extremos deben ser positivos y tener raíz cuadrada exacta.
• El término central debe ser el doble producto de las raíces de los extremos (2 · a · b).

a² - 10a + 25 = (a - 5)²

49m⁶ + 70m³n³ + 25n⁶ = (7m³ + 5n³)²

Preguntas de orden para factorizar:

1. ¿Hay factor común?
2. ¿Es diferencia de cuadrados?
3. ¿Es suma o diferencia de cubos?
4. ¿Es un trinomio? (Verificar si es cuadrado perfecto, de la forma x²+bx+c o con coeficiente).