Estadística Descriptiva e Inferencial: Pasos, Gráficos, Medidas de Tendencia Central, Distribuciones y Contraste de Hipótesis

Pasos para construir intervalos

1. Calcular el recorrido o amplitud de la distribución.
2. Calcular el número de intervalos.
3. Determinar la amplitud de los intervalos.
4. Calcular el límite superior del intervalo máximo y el del mínimo.
5. Calcular frecuencias.
6. Calcular la marca de clase.

Gráficos

• Cualitativas y cuantitativas discretas: diagrama de barras, sectores, pictogramas y cartogramas.
• Cuantitativas discretas y continuas: diagrama de cajas, de tallo y hoja, diagrama logarítmico.

Medidas de tendencia central

Media aritmética

• La suma de las diferencias da 0.
• La diferencia cuadrática respecto a la media es menor o igual que la diferencia con otro valor.
• La media es un operador lineal.
• Es muy sensible a la variación de los datos.

Mediana

• La suma de las diferencias de las puntuaciones respecto a la mediana, en valor absoluto, es menor o igual que respecto a cualquier otro valor de la variable, también en valor absoluto.
• La vertical levantada sobre ella divide la área total del histograma y del polígono de frecuencias en dos áreas de idéntica superficie.
• Es sensible a valores extremos.

Moda

• Es fácil de calcular.
• En una serie de datos pueden aparecer dos o más valores de frecuencia máxima; en ese caso, su distribución es bimodal.

Medidas de posición

Cuartiles, percentiles, mililes y deciles.

Medidas de dispersión

Recorrido, recorrido intercuartílico, desviación media y desviación cuartílica.

Varianza y desviación típica

• Toman siempre valores positivos y solo se aplican a variables cuantitativas.
• Si todos los valores de la variable son iguales, valen 0.
• Son muy sensibles a la variación de los valores de la variable.
• No se recomienda usarlas cuando no se usa la media.

Medidas sin dimensión

Coeficiente de variación

• Solo debe usarse con todos los valores positivos.
• No es invariante ante cambios de origen ni de escala.

Coeficiente de asimetría de Fisher

= 0 simétrica; > 0 asimétrica a la derecha; < 0 asimétrica a la izquierda.

Coeficiente de curtosis de Fisher

> 0 leptocúrtica; < 0 platicúrtica.

Distribuciones de una variable aleatoria discreta

Distribución binomial

Nos da el número de éxitos en n pruebas de Bernoulli, que son pruebas dicotómicas e independientes, cada una con probabilidad p de éxito y q de fracaso.

Propiedades:

• Es simétrica si p = q. Si p > q es asimétrica a la izquierda; si p < q, asimétrica a la derecha.
• Si p > 0,5, la probabilidad de r éxitos en n pruebas es igual a la de n − r fracasos.
• Para valores grandes de n se aproxima a la normal.
• Presenta características estocásticas.

Poisson

• Muy asimétrica.
• Todos los valores están tabulados.
• Puede aproximarse mediante la distribución normal.
• Presenta características estocásticas.

Hipergeométrica

• Está tabulada y depende de 3 parámetros. Con n grande no hay tabla, por lo que se aproxima a la binomial o a Poisson, y si no hay tablas, a la normal.
• Con n grande y np < 5 o n grande y nq < 5 se aplican las aproximaciones correspondientes.

Distribuciones de una variable aleatoria continua

Uniforme

Es uniforme en un intervalo (a, b) cuando su función de densidad es constante en dicho intervalo y nula fuera de él.

Distribución normal

• Tiene un único máximo en x = μ.
• Tiene 2 puntos de inflexión a la distancia de una desviación típica, a ambos lados de la media.
• Sus colas son asintóticas.
• La media, la mediana y la moda tienen el mismo valor.
• El área total es 1.

Distribuciones asociadas

• t de Student: su forma depende de los grados de libertad. A mayor grado de libertad, más se aproxima a la normal. Si x = 0, coinciden la media, la mediana y la moda.
• Chi cuadrado (χ²): su forma depende de los grados de libertad; a mayor número de grados de libertad, más simétrica. La suma de 2 variables aleatorias independientes χ² de n y m gl es otra χ² con n + m gl.
• F de Snedecor: distribución obtenida del cociente de 2 variables aleatorias independientes χ², con n y m gl, divididas por sus respectivos gl. Es continua, asimétrica positiva y con recorrido de 0 a infinito.

Contraste de hipótesis

1. Conocer la distribución de probabilidad de la población. En gran cantidad de tests es necesario realizar suposiciones de normalidad, igualdad de varianzas e independencia de datos. En función de estas características se aplica un test u otro; si no se cumplen, se utilizan los no paramétricos.
2. Establecer la hipótesis: la hipótesis nula es la que inicialmente se acepta como verdadera y se pretende rechazar; la hipótesis alternativa es la que se acepta como verdadera al rechazar la nula.
3. Elegir el nivel de significación y el estadístico de prueba: el nivel de significación lo establece el investigador y marca el error máximo que se está dispuesto a admitir al rechazar la hipótesis nula. Es distinto del grado de significación que viene dado por los experimentos, es decir, la probabilidad de encontrar una diferencia igual o superior a la observada cuando la hipótesis nula es cierta. Luego hay que elegir el estadístico de prueba: podrían seguir distintas distribuciones conocidas o no, por lo que debe elegirse en este punto. Según lo que queramos comparar tendremos un estadístico diferente, pero en el denominador siempre estará el error estándar correspondiente.
4. Obtención de los valores críticos y establecimiento de las reglas de decisión: se obtienen en las tablas correspondientes según la distribución del estadístico que se utilice. Así, la decisión se establecerá mediante la delimitación de estas zonas. Puede ser bilateral o unilateral.
5. Cálculo del estadístico de prueba.
6. Conclusiones: se rechaza o no la hipótesis nula. También puede completarse obteniendo el nivel crítico.