Ejercicios resueltos de interés compuesto, tasas equivalentes e inflación
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Resumen
El documento resuelve ejercicios de matemáticas financieras: inversiones con interés compuesto y tasas variables, conversión entre tasas nominales equivalentes con distintas capitalizaciones, cálculo de inflación acumulada y promedio mensual a partir de índices de precios, inflación acumulada por tasas mensuales y un problema de progresión aritmética con UDIS. Cada caso muestra el procedimiento paso a paso.
Puntos clave
- El monto con interés compuesto se calcula con M = C(1 + i/p)^(np), y si la tasa cambia se aplica por tramos encadenando el monto final de cada periodo.
- Dos tasas nominales son equivalentes cuando producen el mismo rendimiento efectivo anual: (1 + i/m)^m = (1 + j/n)^n.
- La inflación acumulada se obtiene con λ = Pf/Pi − 1, y la inflación promedio mensual con i = n√(M/C) − 1.
- La inflación acumulada a partir de tasas mensuales se calcula multiplicando los factores (1 + λ) de cada mes y restando 1.
- En una progresión aritmética, el número de términos se halla con N = (an − a1)/d + 1.
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Ejercicios de Interés Compuesto con Tasas Variables
Caso 1: Inversión con tres cambios de tasa en 6 años
Se invierten 7.500 en un banco por un periodo de 6 años. Al momento del depósito, la tasa de interés era del 16,8% anual capitalizable por semestre. A los 18 meses, la tasa cambia al 14% capitalizable por cuatrimestre. Dos años y medio después, cambia al 16% capitalizable por meses. Determine el monto total acumulado.
Fórmula base:
M = C(1 + i/p)np
Resolución paso a paso:
- Periodo 1 (Primeros 18 meses / 3 semestres):
M = 7.500(1 + (0,168 / 2))3 = 9.553,20 - Periodo 2 (Siguientes 2,5 años / 7,5 cuatrimestres):
M = 9.553,20(1 + (0,14 / 3))7,5 = 13.449,67 - Periodo 3 (Resto del tiempo / 24 meses):
M = 13.449,67(1 + (0,16 / 12))24 = 18.482,78
Caso 2: Inversión de 200.000 a 5 años
Se invirtieron 200.000 en un banco por 5 años. Cuando se realizó el depósito, el banco pagaba el 16,8% anual capitalizable cada trimestre durante los primeros 3 años y medio. Después, la tasa cambió al 14% anual capitalizable mensualmente. Calcule el monto al finalizar los 5 años.
Resolución:
- Primer tramo (3,5 años / 14 trimestres):
M = 200.000(1 + (0,168 / 4))14 = 335.777,1576 - Segundo tramo (1,5 años restantes / 18 meses):
M = 335.777,1576(1 + 0,14 / 12)18 = 438.381
Cálculo de Tasas Equivalentes
Equivalencia Trimestral vs. Semanal
¿Cuál es la tasa nominal con capitalización trimestral que es equivalente a una tasa de interés del 22,8% anual capitalizable por semana?
Procedimiento:
(1 + i / 4)4 = (1 + 0,228 / 52)52 = 1,255459461
Para despejar i:
4√1,255459461 = 1,058523913
1,058523913 - 1 = 0,058523912
0,058523912 * 4 = 0,2340
0,2340 * 100 = 23,40%
Equivalencia Semestral vs. Mensual
Hallar la tasa nominal con capitalización semestral que es equivalente a una tasa del 20% con capitalización por mes.
Procedimiento:
(1 + i / 2)2 = (1 + 0,20 / 12)12 = 1,2193
Para despejar i:
2√1,2193 = 1,1042
1,1042 - 1 = 0,1042
0,1042 * 2 = 0,208552
0,208552 * 100 = 20,85%
Análisis de Inflación e Índices de Precios
Inflación en el periodo 2015-2017
Si el índice de precios fue de 85,3540 en el año 2015 y en junio de 2017 fue de 112,26, calcule la tasa de inflación ocurrida en ese periodo y la inflación promedio mensual.
Cálculo de Inflación Acumulada (λ):
λ = (Pf / Pi) - 1
112,26 / 85,3540 = 1,315228 - 1 = 0,3152
0,3152 * 100 = 31,5228%
Cálculo de Inflación Promedio Mensual (i):
i = n√(M / C) - 1
i = 18√(112,26 / 85,3540) = 1,0153 - 1 = 0,01533
0,01533 * 100 = 1,53%
Inflación en el primer semestre de 2011
Si el índice de precios de diciembre de 2010 fue de 97,3545 y en junio de 2011 fue de 99,9172, determine:
- A) La tasa de inflación en el primer semestre de 2011:
λ = (99,9172 / 97,3543) - 1 = 1,02632 - 1 = 0,02632
0,02632 * 100 = 2,63% - B) La tasa promedio de inflación mensual:
i = 6√(99,9172 / 97,3543) - 1 = 1,0043 - 1 = 0,004340
0,004340 * 100 = 0,4340%
Fórmula alternativa para inflación promedio (λp):
λp = n√(1 + λ) - 1
λp = 6√(1 + 0,0263) - 1 = 0,004336
0,004336 * 100 = 0,434%
Inflación acumulada por tasas mensuales
Determine la inflación en el primer trimestre de 2013 si las inflaciones mensuales fueron: enero 0,40%, febrero 0,28%, marzo 0,63% y abril 0,25%.
Fórmula de inflación acumulada:
λ = (1 + λ1)(1 + λ2)(1 + λ3)...(1 + λn) - 1
Cálculo (Enero a Marzo):
λ = (1 + 0,004)(1 + 0,0028)(1 + 0,0063) = 1,01315 - 1 = 0,01315
0,01315 * 100 = 1,32%
Cálculo de Unidades de Inversión (UDIS)
Si las UDIS aumentan su cotización 475 millonésimas por día, ¿en qué día estarán a 3,203193, si el primer día del mes estuvieron en 3,191318?
Fórmula de progresión aritmética:
N = (an - a1) / d + 1
Datos:
- an = 3,203193
- a1 = 3,191318
- d = 0,000475
Resolución:
3,203193 - 3,191318 = 0,011875
0,011875 / 0,000475 = 25
25 + 1 = 26 días
Preguntas frecuentes
¿Cómo se calcula el monto de una inversión con tasa de interés que cambia durante el plazo?
Se divide el plazo en tramos según los cambios de tasa, se calcula el monto de cada tramo con la fórmula de interés compuesto y el monto final de un tramo se usa como capital inicial del siguiente.
¿Cómo se calcula la inflación promedio mensual a partir de los índices de precios?
Se divide el índice final entre el inicial, se extrae la raíz de orden igual al número de meses y se resta 1: i = n√(M/C) − 1.
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