Conceptos Fundamentales de Inferencia Estadística y Estimación Paramétrica

Conceptos Clave de la Estadística Inferencial

Población: Conjunto de individuos sobre los que se estudian una o varias características. A los elementos que componen la población se les denomina unidades elementales o primarias. El número de elementos que integran una población se denomina tamaño poblacional y lo denotaremos por N. En el ámbito de la inferencia estadística, se suele identificar la población con la variable aleatoria estudiada en ese momento y hablaremos de “la distribución de una población X” o de la media poblacional.

Muestra: Subconjunto de elementos de la población. El número de elementos de la muestra se denomina tamaño muestral y lo denotaremos por n.

Parámetro: Cualquier característica medible de la población.

Inferencia estadística: Conjunto de métodos que nos permiten tomar decisiones u obtener conclusiones sobre la población total utilizando la información contenida en una muestra de esa población. Dependiendo del objeto a estudio, la inferencia estadística se divide en:

• Inferencia paramétrica: Se conoce la distribución de probabilidad de la población estudiada salvo un número finito de parámetros y su objetivo es estimar el valor de dichos parámetros, dar un intervalo donde puedan tomar valores o contrastar alguna afirmación sobre los parámetros desconocidos. Dependiendo del objetivo, la inferencia paramétrica se divide en:
  • a) Estimación puntual: Nuestro objetivo es calcular un valor aproximado de un parámetro de la población.
  • b) Intervalos de confianza: En vez de obtener un valor aproximado, nos interesa un intervalo en donde se encuentre el parámetro estudiado.
  • c) Contrastes de hipótesis: Trata de apoyar o rechazar una afirmación sobre el parámetro.
• Inferencia no paramétrica: Abarca problemas similares cuando no se conoce la distribución de la población. Suelen utilizarse para la comprobación de hipótesis usadas por un método paramétrico, por ejemplo, si la población sigue una determinada distribución de probabilidad.

Muestra aleatoria simple (m.a.s.): Una muestra aleatoria simple (m.a.s.) de tamaño n de una población X es una variable, (X₁, X₂, ..., Xₙ), donde Xᵢ son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas, con la misma distribución de probabilidad que tenga la población X.

Una realización de la muestra son valores particulares, x₁, x₂, ..., xₙ, observados para las variables X₁, X₂, ..., Xₙ.

Estimación Puntual Paramétrica

Estadístico: Variable aleatoria función de la muestra que no depende del parámetro desconocido (suma de las variables de la muestra, el valor mínimo o la media de las variables de la muestra).

Estimador: Estadístico que toma valores admisibles para el parámetro desconocido (un estadístico que tome valores negativos no puede ser un estimador de la varianza; en una binomial, para que un estadístico sea un estimador de la probabilidad de éxito, p, debe tomar sólo valores entre 0 y 1).

“El cambio de escala le afecta tanto a la esperanza (o media) como a la varianza; sin embargo, el cambio de origen solo le afecta a la esperanza”.

Al no conocerse el valor exacto del parámetro, no podremos saber hasta qué punto una estimación se aproxima al verdadero valor del parámetro.

La bondad de un estimador se mide a través de su error cuadrático medio: Se denomina error cuadrático medio, ECM(𝚰̂), a la media global de los errores al cuadrado.

Propiedades de los Estimadores

Las propiedades principales que debe cumplir un buen estimador son:

• Insesgadez: Que ni se sobrestime ni se subestime el verdadero valor del parámetro.
• Eficiencia: Que tenga la mínima variabilidad posible.
• Consistencia: Al aumentar el tamaño de la muestra las estimaciones deben ser más exactas ya que se dispone de más información.