Colección de Problemas de Optimización por Derivadas: Máximos y Mínimos

Colección de Problemas de Optimización (Cálculo Diferencial)

A continuación, se presenta una recopilación de ejercicios clásicos de optimización que requieren el uso de derivadas para determinar dimensiones que maximicen o minimicen ciertas magnitudes (área, volumen, longitud, coste, etc.).

I. Problemas de Optimización Geométrica y Distribución de Material

1. Optimización de Figuras Planas y Alambres

   • A: Un alambre de longitud 2 metros se divide en dos trozos. Con el primero se forma un rectángulo cuya base es el doble de su altura y con el segundo trozo se forma un cuadrado. Calcula las longitudes de dichos trozos para que la suma de las áreas del rectángulo y el cuadrado resultantes sea mínima.
   • B: De entre todos los triángulos rectángulos de hipotenusa 10 unidades, determina las dimensiones del de área máxima.
   • C: Una ventana normanda consiste en un rectángulo coronado con un semicírculo. De entre todas las ventanas normandas de perímetro 10 m, halla las dimensiones del marco de la de área máxima.
   • D: Calcula la base y la altura del triángulo isósceles de perímetro 8 y de área máxima.
   • H: Un alambre de 100 m de longitud se divide en dos trozos. Con uno de los trozos se construye un cuadrado y con el otro un rectángulo cuya base es doble que su altura. Calcula las longitudes de cada uno de los trozos con la condición de que la suma de las áreas de estas dos figuras sea mínima.
   • 1: Entre todos los triángulos rectángulos de 5 metros de hipotenusa, determina los catetos del de área máxima.
   • 36: De todos los triángulos cuya base y altura suman 20 cm, ¿qué base tiene el de área máxima?
   • 42: De entre todos los rectángulos de perímetro 8 cm, determina las dimensiones del que tiene diagonal de menor longitud.
   • 64: Un alambre de longitud 1 m se divide en dos trozos, con uno se forma un cuadrado y con el otro una circunferencia. (Determinar longitudes para área mínima/máxima).

2. Optimización de Volumen y Superficie (3D)

   • I: Se desea construir un depósito cilíndrico cerrado de área total igual a 54 m². Determina el radio de la base y la altura del cilindro para que este tenga volumen máximo.
   • 7: La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 90 cm. Si se hace girar alrededor de uno de sus catetos, el triángulo engendra un cono. ¿Qué medidas han de tener los catetos del triángulo para que el volumen del cono engendrado sea máximo? (Recuerda que el volumen del cono es: $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$).
   • 60: Se quiere construir un depósito en forma de prisma de base cuadrada sin tapadera que tenga una capacidad de 500 m³. (Continuación del enunciado, generalmente buscando superficie mínima).
   • 72: Se desea construir una lata de conserva en forma de cilindro circular recto que tenga una superficie total de 200 cm². (Determinar dimensiones para volumen máximo).
   • 87: Se desea construir una caja cerrada de base cuadrada con una capacidad de 80 cm³. Para la tapa y la superficie lateral se usa un material que cuesta 1 euro el cm². (Continuación del enunciado, buscando coste mínimo).

II. Problemas de Optimización en Contextos Específicos

9. Problemas de Diseño y Restricciones

   • 9: Una hoja de papel tiene que contener 18 cm² de texto. Los márgenes superior e inferior han de tener 2 cm cada uno y los laterales 1 cm. (Determinar dimensiones de la hoja para área mínima).
   • 26: Se divide un segmento de longitud $L = 20$ cm en dos trozos. Con uno de los trozos se forma un cuadrado y con el otro un rectángulo en el que la base es el doble de la altura. (Determinar longitudes para área mínima/máxima).
   • 28: De entre todos los rectángulos cuya área mide 16 cm², determina las dimensiones del que tiene diagonal de menor longitud.
   • 54: Tenemos que fabricar dos chapas cuadradas con dos materiales distintos. El precio de cada uno es 2 y 3 euros... (Continuación del enunciado, buscando coste mínimo o área máxima con presupuesto fijo).
   • 80: De un terreno se desea vender un solar rectangular de 12.800 m² dividido en 3 parcelas... (Continuación del enunciado).

10. Optimización de Funciones y Coordenadas

    • E: En el primer cuadrante representamos un rectángulo de tal manera que tiene un vértice en el origen de coordenadas y el vértice opuesto en la parábola $y = -x^2 + 3...$ (Continuación del enunciado, buscando área máxima).
    • F: Queremos hacer junto a la carretera un cercado rectangular para unos caballos en una zona llana. Cada metro del lado del cercado que está... (Continuación del enunciado, buscando área máxima con restricción de coste).
    • 40: De entre todas las rectas del plano que pasan por el punto $(1, 2)$, encuentra aquella que forma con las partes positivas... (Continuación del enunciado, buscando área mínima del triángulo formado).
    • 51: Determina dos números reales positivos sabiendo que su suma es 10 y que el producto de sus cuadrados es máximo.
    • 55: De entre todos los rectángulos situados en el primer cuadrante que tienen dos de sus lados sobre los ejes coordenados... (Continuación del enunciado).
    • 65: Determina un punto de la curva de ecuación $y = x e^{-x^2}$ en el que la pendiente de la recta tangente sea máxima.
    • 108: De entre todos los rectángulos que tienen uno de sus vértices en el origen de coordenadas, el opuesto de este vértice en la curva $y = \frac{2x^2}{x^2 - 1}...$ (Continuación del enunciado).
    • 112: Considera el recinto limitado por la curva $y = \frac{1}{3}x^2$ y la recta $y = 9...$ (Continuación del enunciado).