Cinemática del Movimiento Armónico Simple: Ecuaciones, Gráficas y Energía del Oscilador

Cinemática: ecuaciones y representación gráfica

Movimiento periódico: un cuerpo describe un movimiento periódico cuando las variables posición, velocidad y aceleración de su movimiento toman los mismos valores después de cada intervalo de tiempo constante, denominado periodo.

Una partícula describe un movimiento vibratorio u oscilatorio cuando se desplaza sucesivamente a un lado y a otro de su posición de equilibrio, repitiendo a intervalos regulares de tiempo sus variables cinemáticas.

El movimiento se produce porque el muelle ejerce sobre el cuerpo una fuerza que lo devuelve a su posición de equilibrio (fuerza recuperadora):

F = −kx

El movimiento oscilatorio de un cuerpo sobre la trayectoria recta es un movimiento armónico simple (MAS) cuando está sometido a la acción de una fuerza de atracción proporcional al vector posición, con origen en el punto de equilibrio y sentido contrario.

Ecuación del movimiento armónico simple

La ecuación del MAS describe cómo varía el valor de la elongación x a lo largo de una trayectoria recta con el transcurso del tiempo:

x = A·sen(ωt + φ)

Características del movimiento

• Vibración: distancia recorrida por la partícula en un movimiento completo de vaivén.
• Centro de oscilación: punto medio de la distancia que separa las dos posiciones extremas alcanzadas por la partícula móvil.
• Elongación: distancia que, en cada instante, separa la partícula del centro de oscilación.
• Amplitud (A): valor máximo de la elongación.
• Periodo (T): tiempo empleado por la partícula en efectuar una oscilación completa.
• Frecuencia (f): número de oscilaciones efectuadas en la unidad de tiempo.
• Pulsación (ω): número de periodos comprendidos en 2π unidades de tiempo.

Velocidad

v = dx/dt

La velocidad está desfasada π/2 respecto a la elongación. Cuando x = ±A, la velocidad es nula; cuando x = 0, la velocidad es máxima: v = ±Aω.

Aceleración

a = dv/dt

a = −Aω² sen(ωt + φ)

a = −ω²x

La aceleración es proporcional a la elongación y de sentido contrario a esta. Es necesaria para que un movimiento periódico sea MAS.

Energía del oscilador armónico simple

La energía mecánica que posee el oscilador es la suma de la energía cinética, debida a su movimiento, y la energía potencial elástica. El movimiento armónico simple se debe a la acción de una fuerza conservativa:

E_m = E_c + E_pe

Energía cinética

E_c = ½mv²

Sustituyendo la velocidad: ½m(Aωcos(ωt + φ))² = ½mA²ω²cos²(ωt + φ) = ½kA²cos²(ωt + φ)

Energía potencial elástica

E_pe = −W, es decir, E_p = ½kx²

La energía mecánica del oscilador armónico simple es una constante característica de este y es proporcional al cuadrado de la amplitud de la oscilación:

E = ½kA²

Péndulo simple

Suspendemos una pequeña partícula de un hilo de longitud L y de masa despreciable, y la separamos un ángulo α de su posición de reposo. Esta partícula efectúa un movimiento de péndulo simple.

Para que se mueva con MAS debe desplazarse sobre una trayectoria recta y estar sometida a una fuerza recuperadora F = −kx. El movimiento del péndulo simple es un movimiento armónico simple siempre que se consideren desplazamientos muy pequeños.

Por tanto:

T = 2π√(m/k) = 2π√(L/g)

ω = √(g/L)