Cinemática y Dinámica Clásica: Componentes Intrínsecas, Leyes de Newton y Fuerzas Conservativas

1. Componentes Intrínsecas de la Aceleración

Del mismo modo que la variación del vector posición permite definir el vector velocidad, la variación del vector velocidad permite definir la aceleración mediante la derivada temporal:

$$\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} \quad [\text{m/s}^2]$$

Esta magnitud, en principio, no posee un carácter especial en coordenadas cartesianas ordinarias; sin embargo, al cambiar a un sistema de referencia intrínseco, sus componentes adquieren una interpretación física directa. Este nuevo sistema está formado por:

• Vector unitario tangencial ($\hat{u}_t$): cuya dirección y sentido vienen determinados por el vector velocidad. Su componente representa la variación en el módulo de la velocidad.
• Vector unitario normal ($\hat{u}_n$): perpendicular al anterior, con sentido dirigido hacia el centro de curvatura de la trayectoria. Su componente representa la variación en la dirección del vector velocidad.

En función del ángulo $\theta$, los vectores unitarios pueden expresarse como:

$$\hat{u}_t = -|\hat{u}_t| \sin\theta\,\hat{\imath} + |\hat{u}_t| \cos\theta\,\hat{\jmath}$$

$$\hat{u}_n = -|\hat{u}_n| \cos\theta\,\hat{\imath} - |\hat{u}_n| \sin\theta\,\hat{\jmath}$$

Las componentes intrínsecas de la aceleración se definen entonces como:

• Aceleración tangencial: $$a_t = \frac{dv}{dt}$$
• Aceleración normal o centrípeta: $$a_n = \frac{v^2}{R}$$ (donde $R$ representa el radio de curvatura).

2. Sistemas de Referencia Inerciales y Leyes de Newton

Se define el momento lineal (o cantidad de movimiento) de una partícula puntual como el producto de su masa por su vector velocidad:

$$\vec{p} = m \cdot \vec{v}$$

A partir del momento lineal se formula la Primera Ley de Newton (Principio de Inercia): toda partícula libre mantiene constante su momento lineal.

En la resolución de cualquier problema físico es fundamental definir el punto de observación dentro de un sistema de referencia:

• Sistema de Referencia Inercial (SRI): Es aquel en el cual la Primera Ley de Newton describe correctamente el movimiento de una partícula libre. Corresponde a sistemas que no están acelerados.
• Sistema de Referencia No Inercial: Aquel donde no son directamente válidas las leyes de Newton sin introducir fuerzas ficticias o de inercia debido a la aceleración del propio sistema.

Interacción entre Partículas y Dinámica

Consideremos un sistema formado por dos partículas aisladas que interactúan mutuamente. Aunque el momento lineal de cada partícula individual puede variar como consecuencia de la interacción, el momento lineal total del sistema aislado permanece constante.

• Segunda Ley de Newton: La fuerza representa la interacción que genera una variación en el momento lineal en el tiempo y requiere la existencia de un agente físico que la cause:$$\vec{F}_1 = \frac{d\vec{p}_1}{dt}$$
• Tercera Ley de Newton (Acción y Reacción): La fuerza que experimenta la partícula 1 debida a la partícula 2 es idéntica en módulo y dirección, pero con sentido opuesto a la fuerza que ejerce la partícula 1 sobre la partícula 2:$$\vec{F}_{12} = -\vec{F}_{21}$$

3. Fuerzas Conservativas y Energía Potencial

Una fuerza es conservativa si cumple las siguientes propiedades equivalentes:

1. El trabajo mecánico total ($W$) realizado sobre una partícula es nulo ($W = 0$) cuando la partícula describe una trayectoria cerrada y regresa a su posición inicial.
2. El trabajo efectuado por la fuerza es independiente de la trayectoria seguida por la partícula para trasladarse desde una posición inicial (1) hasta una posición final (2).

Definición de Energía Potencial ($E_p$ o $U$)

Dado que el trabajo realizado por una fuerza conservativa depende exclusivamente de las posiciones inicial y final, es posible definir la función escalar de energía potencial ($U$). Dicha función se define de forma tal que el trabajo realizado por la fuerza conservativa sea igual a la disminución de la energía potencial:

$$W = \int_1^2 \vec{F} \cdot d\vec{s} = -\Delta U = -(U_2 - U_1)$$