Leyes de Kepler y Conservación del Momento Angular en el Movimiento Planetario

Leyes de Kepler del Movimiento Planetario

1ª Ley: Ley de las Órbitas

Los planetas se mueven en órbitas elípticas alrededor del Sol, que está situado en uno de los focos de la elipse. En la mayoría de los casos, dichas órbitas tienen excentricidades muy pequeñas, por lo que pueden considerarse círculos descentrados.

2ª Ley: Ley de las Áreas

La recta que une el planeta con el Sol barre áreas iguales en tiempos iguales. Por lo tanto, la velocidad areolar de un planeta en torno al Sol es constante. Esto significa que los planetas no se mueven con la misma velocidad en todos los puntos de su trayectoria.

3ª Ley: Ley de los Periodos

Los cuadrados de los periodos orbitales de los planetas son proporcionales a los cubos de sus distancias medias al Sol:

T² = k · r³, donde k = (4π²) / (G · M_S)

Momento Angular en el Movimiento Curvilíneo

Si un cuerpo de masa m se mueve con velocidad v y tiene una posición r con respecto a un origen determinado, definimos su momento angular (L) como el producto vectorial de su posición por su momento lineal:

L = r × p = r × (m · v)

Esta magnitud define el estado de movimiento de un cuerpo en trayectoria curvilínea y se caracteriza por:

• Dirección: Es perpendicular al plano formado por r y p.
• Sentido: Se determina mediante la regla de la mano derecha.
• Módulo: Viene dado por L = r · m · v · sen(θ).
• Unidades (SI): kg · m²/s.

Si consideramos un movimiento circular (aproximación válida para el movimiento planetario), r y p son siempre perpendiculares (sen 90º = 1), por lo tanto: L = m · r · v.

Conservación del Momento Angular

El momento angular se conserva en dos situaciones principales:

1. Cuando no actúa ninguna fuerza externa sobre el cuerpo.
2. Cuando el vector posición r y la fuerza F tienen la misma dirección (fuerzas centrales).

En el caso del movimiento planetario, se cumple la segunda condición. Por lo tanto, el momento angular es constante a lo largo del movimiento, lo que implica que las órbitas de los planetas son planas, ya que la fuerza gravitatoria actúa en la dirección que une el planeta y el Sol.

Demostración de la 3ª Ley

Considerando que la fuerza normal que mantiene el giro es la fuerza gravitatoria, igualamos:

F_Grav = F_Normal

G · (M · m / r²) = m · a_n

G · (M · m / r²) = m · v² / r

Sustituyendo la velocidad orbital, obtenemos la relación final:

T² / r³ = 4π² / (G · M)