Cálculo de capacidad de canal (Nyquist y Shannon): ejercicios resueltos

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Resumen

El documento resuelve ejercicios de capacidad de canal aplicando las fórmulas de Nyquist para canales sin ruido y de Shannon para canales con ruido, con distintos anchos de banda y relaciones señal/ruido. Incluye también conceptos de velocidad de modulación y de transmisión, transmisión síncrona y asíncrona, y categorías de cableado de par trenzado.

Puntos clave

  • Nyquist (canal sin ruido): C = 2·W·log2(M), donde M es el número de estados de señal.
  • Shannon (canal con ruido): C = W·log2(1 + S/N), con S/N lineal obtenida desde dB mediante S/N = 10^(dB/10).
  • Vm = 1/Te y Vt = Vm·log2(n): la velocidad de transmisión depende de la de modulación y del número de estados.
  • En la transmisión síncrona no hay bits de inicio ni de parada y se necesita una señal de reloj; en la asíncrona se usan bits de inicio y parada en cada bloque.
  • Cable directo para dispositivos distintos (PC a switch) y cable cruzado para dispositivos del mismo tipo (PC a PC).
  • Categoría 5e alcanza 1000 Mbps (Gigabit Ethernet) y categoría 6 alcanza 1 Gbps, y hasta 10 Gbps en distancias cortas.

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Cálculo de la Capacidad de un Canal: Ejercicios Resueltos

1. Capacidad de un Canal sin Ruido (Binario)

Calcula la capacidad de un canal sin ruido que transmite señales binarias con un ancho de banda (W) de 3 KHz.

Solución:

Se utiliza la fórmula de Nyquist: C = 2 * W * log2(M)

  • M = 2 (señales binarias)
  • W = 3 KHz = 3000 Hz

C = 2 * 3000 * log2(2) = 6000 bps = 6 Kbps

2. Capacidad de un Canal con Ruido

Calcula la capacidad de un canal con ruido donde la relación señal/ruido (SNR) es de 30 dB y el ancho de banda (W) es de 3100 Hz.

Solución:

Se utiliza la fórmula de Shannon: C = W * log2(1 + S/N)

Primero, convertimos SNR de dB a una relación lineal:

  • SNR (dB) = 10 * log10(S/N)
  • 30 = 10 * log10(S/N)
  • 3 = log10(S/N)
  • S/N = 10^3 = 1000

Luego, aplicamos la fórmula de Shannon:

C = 3100 * log2(1 + 1000) ≈ 3100 * 9.97 ≈ 30907 bps ≈ 30.9 Kbps

3. Capacidad de un Canal sin Ruido (Señales de 3 bits)

Calcula la capacidad de un canal sin ruido que transmite señales portadoras de 3 bits y donde el ancho de banda (W) es de 4000 Hz.

Solución:

Usamos la fórmula de Nyquist:

  • W = 4000 Hz
  • M = 2^3 = 8 (ya que cada señal porta 3 bits)

C = 2 * W * log2(M) = 2 * 4000 * log2(8) = 8000 * 3 = 24000 bps = 24 Kbps

4. Capacidad de un Canal con Ruido (SNR 20dB, W 4MHz)

Calcula la capacidad de un canal con ruido donde SNR es de 20 dB y W es 4 MHz.

Solución:

Usamos la fórmula de Shannon y convertimos SNR:

  • SNR(dB) = 10 * log10(S/N)
  • 20 = 10 * log10(S/N)
  • S/N = 10^2 = 100
  • W = 4 MHz = 4,000,000 Hz

C = W * log2(1 + S/N) = 4,000,000 * log2(1 + 100) ≈ 4,000,000 * 6.66 ≈ 26,640,000 bps ≈ 26.64 Mbps

5. Capacidad de un Canal sin Ruido (Binario, W 5KHz)

Calcula la capacidad de un canal sin ruido que transmite señales binarias y donde el ancho de banda (W) es de 5 KHz.

Solución:

Usamos la fórmula de Nyquist:

  • M = 2 (binario)
  • W = 5 KHz = 5000 Hz

C = 2 * W * log2(M) = 2 * 5000 * log2(2) = 10000 bps = 10 Kbps

6. Capacidad de un Canal con Ruido (SNR 20dB, W 2.5KHz)

Calcula la capacidad de un canal con ruido donde SNR es de 20 dB y W es 2.5 KHz.

Solución:

Usamos la fórmula de Shannon y convertimos SNR (ya calculado en el ejercicio 4):

  • S/N = 100
  • W = 2.5 KHz = 2500 Hz

C = W * log2(1 + S/N) = 2500 * log2(1 + 100) ≈ 2500 * 6.66 ≈ 16650 bps ≈ 16.65 Kbps

Velocidad de Modulación y Velocidad de Transmisión

Fórmulas clave:

  • Vm = 1/Te (Velocidad de modulación, donde Te es el tiempo de elemento de señal)
  • Vt = (log2(n))/Te (Velocidad de transmisión, donde n es el número de estados)
  • Vt = Vm * log2(n)

Transmisión Síncrona y Asíncrona

Transmisión Síncrona:

  • Los bits se envían a un ritmo constante.
  • No se utilizan bits de inicio ni de parada.
  • Requiere una señal de reloj para sincronizar el emisor y el receptor.

Transmisión Asíncrona:

  • Se envían pequeños bloques de bits.
  • Se sincronizan al principio de cada bloque con bits de inicio y parada.
  • Requiere un acuerdo en la temporización a nivel de bit.
  • La sincronización se restaura en cada bit de arranque.

Imagen

Conceptos sobre Cableado de Red

1. Diferencia entre Cable Directo y Cable Cruzado

  • Cable Directo: Usa el mismo código de colores en ambos extremos. Se utiliza para conectar dispositivos diferentes (por ejemplo, un PC a un hub o switch).
  • Cable Cruzado: Usa un código de colores diferente en cada extremo. Se utiliza para conectar directamente dos dispositivos del mismo tipo (por ejemplo, dos PCs o dos switches).

2. Categorías según Apantallamiento en Cables de Par Trenzado

  • UTP (Unshielded Twisted Pair): Cable de par trenzado sin apantallamiento.
  • STP (Shielded Twisted Pair): Cable de par trenzado con apantallamiento individual por par.
  • FTP (Foiled Twisted Pair): Cable de par trenzado con apantallamiento global.

3. Categorías de Par Trenzado y Velocidad Máxima de Transmisión

  • Categoría 4: Hasta 16 Mbps (Token Ring).
  • Categoría 5: Hasta 100 Mbps (Ethernet 100BASE-TX).
  • Categoría 5e: Hasta 1000 Mbps (Gigabit Ethernet 1000BASE-T).
  • Categoría 6: Hasta 1 Gbps (Gigabit Ethernet), y hasta 10 Gbps en distancias cortas.

Preguntas frecuentes

¿Qué fórmula se usa para calcular la capacidad de un canal sin ruido?

Se usa la fórmula de Nyquist, C = 2·W·log2(M), donde W es el ancho de banda y M el número de estados de la señal. Para señales binarias, M = 2.

¿Cómo se convierte una relación señal/ruido de dB a un valor lineal?

Se despeja de SNR(dB) = 10·log10(S/N), obteniendo S/N = 10^(SNR/10). Por ejemplo, 30 dB corresponden a S/N = 1000 y 20 dB a S/N = 100.

¿Cuál es la diferencia entre cable directo y cable cruzado?

El cable directo usa el mismo código de colores en ambos extremos y se emplea para conectar dispositivos distintos, como un PC y un switch. El cable cruzado usa códigos diferentes en cada extremo y se usa para conectar dispositivos iguales.

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Test

1. Según la fórmula de Nyquist, ¿cuál es la capacidad de un canal sin ruido binario con W = 3 kHz?
2. ¿Qué valor lineal de S/N corresponde a una relación señal/ruido de 30 dB?
3. En la transmisión síncrona, ¿qué se necesita para sincronizar emisor y receptor?
4. ¿Qué tipo de cable se utiliza para conectar dos PCs directamente?
5. ¿Cuál es la velocidad máxima de transmisión de la categoría 5e de par trenzado?
6. Para un canal con ruido con W = 4 MHz y S/N = 100, ¿qué capacidad aproximada se obtiene?

Preguntas generadas con IA a partir del documento: comprueba las respuestas con el texto.