3er trimestre mates
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180º= rad 130º=Xrad ESTUDIO DE FUNCIONES.
Dominio:sihaydenominadores:igualas a 0 el den.hallas x y lo que de lo excluyes del dominio.si x esta bajo raíz:igualas a 0 el radicando y eliminas del dominio los valores negativos.
Continuidad:sinintervalos:hallar lim.si lim-=lim+ es continua.conintervalos:f(x) es continua si limf(x)=f(c)
x--->C
Asintotas:vert:denom=0.horiz:limf(x)cuando x tiende a infinito.
oblic:son de forma y=mx+b ; m=limf(x)cuandoxtiendeainf.
b=limf(x)/x cuando x tiende a inf.
Maximos y Minimos:hallamos f´(x).la igualamos a 0.resolvemoshallandolax.hallamos f´´(x).sustituimos en la segunda los valores hallados en la primera.Si da positivo es minimo y si es negativo es maximo.
Punto de inflex:igual que con max y min. pero igualamos a 0 la segunda en vez de la primera.
Concav,Convex:una curva es concava si su segunda derivada es >0 y si <0 es convexa.
Crec,decrec:una funcion es creciente si su primera derivada es >0 y si es <0 es decrec.
Intervalo de confianza: N(5 , 2) n=10.000
Procedimiento para hallar máximos y mínimos locales.a) Se calcula la derivada primera f' (x) b) Se resuelve la ecuación f' (x)=0 c) Sustituimos los valores de x obtenidos anteriormente en la función f(x) y se obtienen los posibles puntos de los máximos y mínimos. d) Hallamos la derivada segunda f''(x) e) Sustituimos en f''(x) los valores de x, posibles máximos o mínimos: · Si f''(x) > 0 es un mínimo. · Si f''(x) < 0 es un máximo. Alternativamente: En ocasiones puede resultar más cómodo, en vez de calcular la derivada segunda comprobar si, f'(a)=0 y signo f'(a-h) ¹ signo de f'(a+h) para h>0 y arbitrariamente pequeño.
sen(a+b) =sena·cosb+cosa·senb
cos(a+b) =cosa·cosb-sena·senb
tg(a+b)= tga+tgb / 1-tga·tgb
sen(a-b) =sena·cosb-cosa·senb
cos(a+b) =cosa-cosb+sena·senb Teorema del Seno
a/sen = b/senB | a/senÂ=c/senC | b/senB=c/senC
Teorema Coseno
a2 = b2+c2-2bc·cosÂ
b2 = a2+c2-2ac·cosB
c2= a2+b2-2ab·cosC
Área del triángulo
S= 1/2 a·b·senC
S= 1/2 a·c·senB
S= 1/2 b·c·senA
sen2a+cos2a=1
sen2a=1-cos2a
cos2a=1-sen2a
1+tg2a=1/cos2a
tga=cat.opuesto/cat.cont
cosa= cat.contiguo/hipot
sena= cat.opuesto/hipot
tga=sena/cosa
senx = cosx
cosx = -senx
tgx = 1+tg2x
sen (fx)= cos f ´(x) · f(x)
cos f(x)= -sen f ´(x) ·f(x)
tg f(x)= [1+tg2 f(x)] · f ´(x)
arcsen (x)= 1/
arccos (x)= -1/
arctg (x)= 1/ 1+x2
arcsen f(x)= f ´(x)/
arccos f(x)= -f ´(x)/
arctg f(x)=f ´(x)/ 1+ f(x)2
log x= 1/x
Iog f(x)= · f '(x) / f(x)
log k( x ) = 1/log k.1/k
log k f(x)= 1/ Lk · f ´(x)/ f(x)
ex=ex
ef(x)= ef(x) · f' '(x)
k f(x)= kf(x)· Iog k ·f '(x)k.f(x)= k.f´(x)
kx = kx.log k
[f(x)k]= k·f(x)k-1· f '(x)
xn= n.xn-1
tg(a-b)=tga-tgb / 1+tga·tgb
sen2a=2·sena·cosa
cos2a=cos2a-sen2a
tg2a= 2tga / 1-tg2a
sen a/2= ?1-cosx/2 (todo dentro)
cos a/2= ?1+cosa/2 (todo dentro )
tg a/2=?1-cosa/1+cosa (todo dentro )
senA+senB=2sen A+B/2 · cos A-B/2
senA-senB=2cos A+B/2 · sen A-B/2
cosA+cosB=2cos A+B/2 · cos A-B/2
cosA-cosB= -2sen A+B/2 · sen A-B/2
I II III IV
seno + + - -
cos. + - - +
tang. + - + -
1º suma
D[f(x)+g(x)]=f ´(x)+ g´(x)
2º Producto por un numero
D[k.f(x)]=k.f ´(x)
3º producto
D[f(x) . g(x)]=f ´(x).g(x)+f(X).g´(x)
4º cociente
D[f(x)/g(x)]=f ´(x).g(x) - f(x). g´(x)/ [g(x)]2
5º regla de la cadena
D{f [g(x)]}=f ´[g(x)]g´(x)
D{f (g[h(x)])}=f ´(g[h(x)]h´(x)
5º Potencia
6º Trigonometrica
D(senx)=cosx D[sen f(x)]=f ´(x).cosf(x)
D(cosx)=-senx D[cos f(x)]=f ´(x).sen(x)
D(tanx)=1+tang2x D(tanx)= ( 1+tang2 f(x))f (x)
7ºexponenciales
D(e^x)=e^x D[e^f(x)]=e^f(x).f ´(x)
D(a^x)= a^x.Lna D[a^f(x)]=a^f(x).Ln.a.f´(x)
8ºLogaritmicas
Derivada de una funcion en un punto:
·Sea f(x) una funcion continua en x=a llamamos derivada de f(x) en x=a en caso de existir f´(a)=lim de h que tiende a 0
·f(x) es derivable en x=a si (formula anterior) existe y es finito
·interpretacion geometrica: f´(a) es m t= pendiente de la tangente a la curva y=f(x) en el punto p de abcisas a
Derivabilidad y continuidad:
·si una funcion es derivable en un punto es continua en dixo punto
·lo reciproco no es cierto, es decir, hay funciones continuas que dejan de ser derivables en algun punto (graficamente se distinguen los puntos de no derivabilidad x los picos d su representacion)
Tasa de variacion media de una funcion:
·dada una funcion real de variable real f, se llama tasa de variacion media de f en un intervalo [a,b] de su dominio al cociente: TVMf[a,b]=
·graficamente, la tasa de variacion media d una funcion f en un intervalo [a,b] es la pendiente de la recta secante a la grafica d la curva y = f(x) q pasa x los puntos A(a,f(a)) y B (b,f(b))
Ecuacion d la recta tangente: y - f(a) = f´(a) (x-a)
Recta normal: se llama recta normal a una curva en un punto P a la recta perpendicular a la tangente trazada x P.Su ecuacion es: y - f(a) = - (x-a)
y=ax => y' = ax lna
y= ex => y' = ex
y=lgax => y' = 1/xlna
y=ln x => y' = 1/x
y= senx => y' = cosx
y= cos x => y' = -senx
y= tg x => y' = 1/cos2x
y= tg x => y' = 1+tg2x
y= tg x => y' = sec2x
y= f n=> y' = n f n-1 f '
y= af => y' = af lna f '
y= ef => y' = ef f '
y= lgaf => y' = (1/ flna)f '
y= lnf => y' = (1/f)f '
y= senf => y' = cosf f '
y= cosf => y' = - senf f'
1.x)=x Df(x)=0
2. potencia f(x)=an Df(x)= n.xn-1
3. trigonometricas
f(x)= senox = cosx
f(x)= cosx = -senx
f(x)= tgx = 1+tg2x
4.producto d una funcion x un numero
f(x)= k.g(x) D f(x)= k.Dg(x)
5.suma f(x) + g (x) --> D=f´ (x) + g ' (x)
6. exponenciales
f(x)= ax -->Df(x) = ax.lna
f(x) = ex-->Df(x)= ex
7. logaritmos
f(x)=logax Df(x)= 1/lna.todo lo demas
f(x)=lnx D(x)= 1/x
8.producto de funciones
f(x).g(x) D=f`'.g+f.g'
9.cociente de una funcion
f(x)/g(x)--> D= f '.g - f .g'/g2(x)
ECUACIÓN TANGENTE A LA GRÁFICA
f'(a)(x-a)+f(a)
En f'(a) se coloca el valor que da la derivada de la función al ser x = al punto que me dan.
En (x-a) se coloca el punto que me dan sustituyendo a la a
En el final, f(a), se coloca el valor que da la función (NO la derivada) al sustituir X por el punto que me dan.
Las ecuaciones exponenciales (por ejemplo, 3x·ln3) NUNCA se hacen 0, es decir, no se pueden igualar a 0 y son crecientes en todo su dominio.
Las ecuaciones polinómicas son continuas en todo su dominio y su dominio es R
Para ver los maximos y minimos la función se iguala a 0 y se resuelte. Los valores que salgan son los puntos singulares. SE hace la tabla para estudiar el signo.
Para ver los extremos, se toman los valores de los puntos singulares como si fueran X y se sustituye en la función, poniendo el punto singular y el valor que da: (pto singular, valor que da)
Las soluciones gráficamente son el nº de veces que la gráfica corta el eje X
Procedimiento para hallar máximos y mínimos locales. a) Se calcula la derivada primera f' (x) b) Se resuelve la ecuación f' (x)=0 c) Sustituimos los valores de x obtenidos anteriormente en la función f(x) y se obtienen los posibles puntos de los máximos y mínimos. d) Hallamos la derivada segunda f''(x) e) Sustituimos en f''(x) los valores de x, posibles máximos o mínimos: · Si f''(x) > 0 es un mínimo. · Si f''(x) < 0 es un máximo. Alternativamente: En ocasiones puede resultar más cómodo, en vez de calcular la derivada segunda comprobar si, f'(a)=0 y signo f'(a-h) ¹ signo de f'(a+h) para h>0 y arbitrariamente pequeño.
1º suma
D[f(x)+g(x)]=f ´(x)+ g´(x)
2º Producto por un numero
D[k.f(x)]=k.f ´(x)
3º producto
D[f(x) . g(x)]=f ´(x).g(x)+f(X).g´(x)
4º cociente
D[f(x)/g(x)]=f ´(x).g(x) - f(x). g´(x)/ [g(x)]2
5º regla de la cadena
D{f [g(x)]}=f ´[g(x)]g´(x)
D{f (g[h(x)])}=f ´(g[h(x)]h´(x)
5º Potencia
6º Trigonometrica
D(senx)=cosx D[sen f(x)]=f ´(x).cosf(x)
D(cosx)=-senx D[cos f(x)]=f ´(x).sen(x)
D(tanx)=1+tang2x D(tanx)= ( 1+tang2 f(x))f (x)
7ºexponenciales
D(e^x)=e^x D[e^f(x)]=e^f(x).f ´(x)
D(a^x)= a^x.Lna D[a^f(x)]=a^f(x).Ln.a.f´(x)
8ºLogaritmicas
Derivada de una funcion en un punto:
·Sea f(x) una funcion continua en x=a llamamos derivada de f(x) en x=a en caso de existir f´(a)=lim de h que tiende a 0
·f(x) es derivable en x=a si (formula anterior) existe y es finito
·interpretacion geometrica: f´(a) es m t= pendiente de la tangente a la curva y=f(x) en el punto p de abcisas a
Derivabilidad y continuidad:
·si una funcion es derivable en un punto es continua en dixo punto
·lo reciproco no es cierto, es decir, hay funciones continuas que dejan de ser derivables en algun punto (graficamente se distinguen los puntos de no derivabilidad x los picos d su representacion)
Tasa de variacion media de una funcion:
·dada una funcion real de variable real f, se llama tasa de variacion media de f en un intervalo [a,b] de su dominio al cociente: TVMf[a,b]=
·graficamente, la tasa de variacion media d una funcion f en un intervalo [a,b] es la pendiente de la recta secante a la grafica d la curva y = f(x) q pasa x los puntos A(a,f(a)) y B (b,f(b))
Ecuacion d la recta tangente: y - f(a) = f´(a) (x-a)
Recta normal: se llama recta normal a una curva en un punto P a la recta perpendicular a la tangente trazada x P.Su ecuacion es: y - f(a) = - (x-a)
y=ax => y' = ax lna
y= ex => y' = ex
y=lgax => y' = 1/xlna
y=ln x => y' = 1/x
y= senx => y' = cosx
y= cos x => y' = -senx
y= tg x => y' = 1/cos2x
y= tg x => y' = 1+tg2x
y= tg x => y' = sec2x
y= f n=> y' = n f n-1 f '
y= af => y' = af lna f '
y= ef => y' = ef f '
y= lgaf => y' = (1/ flna)f '
y= lnf => y' = (1/f)f '
y= senf => y' = cosf f '
y= cosf => y' = - senf f'
1.x)=x Df(x)=0
2. potencia f(x)=an Df(x)= n.xn-1
3. trigonometricas
f(x)= senox = cosx
f(x)= cosx = -senx
f(x)= tgx = 1+tg2x
4.producto d una funcion x un numero
f(x)= k.g(x) D f(x)= k.Dg(x)
5.suma f(x) + g (x) --> D=f´ (x) + g ' (x)
6. exponenciales
f(x)= ax -->Df(x) = ax.lna
f(x) = ex-->Df(x)= ex
7. logaritmos
f(x)=logax Df(x)= 1/lna.todo lo demas
f(x)=lnx D(x)= 1/x
8.producto de funciones
f(x).g(x) D=f`'.g+f.g'
9.cociente de una funcion
f(x)/g(x)--> D= f '.g - f .g'/g2(x)
ECUACIÓN TANGENTE A LA GRÁFICA
f'(a)(x-a)+f(a)
En f'(a) se coloca el valor que da la derivada de la función al ser x = al punto que me dan.
En (x-a) se coloca el punto que me dan sustituyendo a la a
En el final, f(a), se coloca el valor que da la función (NO la derivada) al sustituir X por el punto que me dan.
Las ecuaciones exponenciales (por ejemplo, 3x·ln3) NUNCA se hacen 0, es decir, no se pueden igualar a 0 y son crecientes en todo su dominio.
Las ecuaciones polinómicas son continuas en todo su dominio y su dominio es R
Para ver los maximos y minimos la función se iguala a 0 y se resuelte. Los valores que salgan son los puntos singulares. SE hace la tabla para estudiar el signo.
Para ver los extremos, se toman los valores de los puntos singulares como si fueran X y se sustituye en la función, poniendo el punto singular y el valor que da: (pto singular, valor que da)
Las soluciones gráficamente son el nº de veces que la gráfica corta el eje X
Procedimiento para hallar máximos y mínimos locales. a) Se calcula la derivada primera f' (x) b) Se resuelve la ecuación f' (x)=0 c) Sustituimos los valores de x obtenidos anteriormente en la función f(x) y se obtienen los posibles puntos de los máximos y mínimos. d) Hallamos la derivada segunda f''(x) e) Sustituimos en f''(x) los valores de x, posibles máximos o mínimos: · Si f''(x) > 0 es un mínimo. · Si f''(x) < 0 es un máximo. Alternativamente: En ocasiones puede resultar más cómodo, en vez de calcular la derivada segunda comprobar si, f'(a)=0 y signo f'(a-h) ¹ signo de f'(a+h) para h>0 y arbitrariamente pequeño.
Dominio:sihaydenominadores:igualas a 0 el den.hallas x y lo que de lo excluyes del dominio.si x esta bajo raíz:igualas a 0 el radicando y eliminas del dominio los valores negativos.
Continuidad:sinintervalos:hallar lim.si lim-=lim+ es continua.conintervalos:f(x) es continua si limf(x)=f(c)
x--->C
Asintotas:vert:denom=0.horiz:limf(x)cuando x tiende a infinito.
oblic:son de forma y=mx+b ; m=limf(x)cuandoxtiendeainf.
b=limf(x)/x cuando x tiende a inf.
Maximos y Minimos:hallamos f´(x).la igualamos a 0.resolvemoshallandolax.hallamos f´´(x).sustituimos en la segunda los valores hallados en la primera.Si da positivo es minimo y si es negativo es maximo.
Punto de inflex:igual que con max y min. pero igualamos a 0 la segunda en vez de la primera.
Concav,Convex:una curva es concava si su segunda derivada es >0 y si <0 es convexa.
Crec,decrec:una funcion es creciente si su primera derivada es >0 y si es <0 es decrec.
Intervalo de confianza: N(5 , 2) n=10.000
Procedimiento para hallar máximos y mínimos locales.a) Se calcula la derivada primera f' (x) b) Se resuelve la ecuación f' (x)=0 c) Sustituimos los valores de x obtenidos anteriormente en la función f(x) y se obtienen los posibles puntos de los máximos y mínimos. d) Hallamos la derivada segunda f''(x) e) Sustituimos en f''(x) los valores de x, posibles máximos o mínimos: · Si f''(x) > 0 es un mínimo. · Si f''(x) < 0 es un máximo. Alternativamente: En ocasiones puede resultar más cómodo, en vez de calcular la derivada segunda comprobar si, f'(a)=0 y signo f'(a-h) ¹ signo de f'(a+h) para h>0 y arbitrariamente pequeño.
sen(a+b) =sena·cosb+cosa·senb
cos(a+b) =cosa·cosb-sena·senb
tg(a+b)= tga+tgb / 1-tga·tgb
sen(a-b) =sena·cosb-cosa·senb
cos(a+b) =cosa-cosb+sena·senb Teorema del Seno
a/sen = b/senB | a/senÂ=c/senC | b/senB=c/senC
Teorema Coseno
a2 = b2+c2-2bc·cosÂ
b2 = a2+c2-2ac·cosB
c2= a2+b2-2ab·cosC
Área del triángulo
S= 1/2 a·b·senC
S= 1/2 a·c·senB
S= 1/2 b·c·senA
sen2a+cos2a=1
sen2a=1-cos2a
cos2a=1-sen2a
1+tg2a=1/cos2a
tga=cat.opuesto/cat.cont
cosa= cat.contiguo/hipot
sena= cat.opuesto/hipot
tga=sena/cosa
senx = cosx
cosx = -senx
tgx = 1+tg2x
sen (fx)= cos f ´(x) · f(x)
cos f(x)= -sen f ´(x) ·f(x)
tg f(x)= [1+tg2 f(x)] · f ´(x)
arcsen (x)= 1/
arccos (x)= -1/
arctg (x)= 1/ 1+x2
arcsen f(x)= f ´(x)/
arccos f(x)= -f ´(x)/
arctg f(x)=f ´(x)/ 1+ f(x)2
log x= 1/x
Iog f(x)= · f '(x) / f(x)
log k( x ) = 1/log k.1/k
log k f(x)= 1/ Lk · f ´(x)/ f(x)
ex=ex
ef(x)= ef(x) · f' '(x)
k f(x)= kf(x)· Iog k ·f '(x)k.f(x)= k.f´(x)
kx = kx.log k
[f(x)k]= k·f(x)k-1· f '(x)
xn= n.xn-1
tg(a-b)=tga-tgb / 1+tga·tgb
sen2a=2·sena·cosa
cos2a=cos2a-sen2a
tg2a= 2tga / 1-tg2a
sen a/2= ?1-cosx/2 (todo dentro)
cos a/2= ?1+cosa/2 (todo dentro )
tg a/2=?1-cosa/1+cosa (todo dentro )
senA+senB=2sen A+B/2 · cos A-B/2
senA-senB=2cos A+B/2 · sen A-B/2
cosA+cosB=2cos A+B/2 · cos A-B/2
cosA-cosB= -2sen A+B/2 · sen A-B/2
I II III IV
seno + + - -
cos. + - - +
tang. + - + -
1º suma
D[f(x)+g(x)]=f ´(x)+ g´(x)
2º Producto por un numero
D[k.f(x)]=k.f ´(x)
3º producto
D[f(x) . g(x)]=f ´(x).g(x)+f(X).g´(x)
4º cociente
D[f(x)/g(x)]=f ´(x).g(x) - f(x). g´(x)/ [g(x)]2
5º regla de la cadena
D{f [g(x)]}=f ´[g(x)]g´(x)
D{f (g[h(x)])}=f ´(g[h(x)]h´(x)
5º Potencia
6º Trigonometrica
D(senx)=cosx D[sen f(x)]=f ´(x).cosf(x)
D(cosx)=-senx D[cos f(x)]=f ´(x).sen(x)
D(tanx)=1+tang2x D(tanx)= ( 1+tang2 f(x))f (x)
7ºexponenciales
D(e^x)=e^x D[e^f(x)]=e^f(x).f ´(x)
D(a^x)= a^x.Lna D[a^f(x)]=a^f(x).Ln.a.f´(x)
8ºLogaritmicas
Derivada de una funcion en un punto:
·Sea f(x) una funcion continua en x=a llamamos derivada de f(x) en x=a en caso de existir f´(a)=lim de h que tiende a 0
·f(x) es derivable en x=a si (formula anterior) existe y es finito
·interpretacion geometrica: f´(a) es m t= pendiente de la tangente a la curva y=f(x) en el punto p de abcisas a
Derivabilidad y continuidad:
·si una funcion es derivable en un punto es continua en dixo punto
·lo reciproco no es cierto, es decir, hay funciones continuas que dejan de ser derivables en algun punto (graficamente se distinguen los puntos de no derivabilidad x los picos d su representacion)
Tasa de variacion media de una funcion:
·dada una funcion real de variable real f, se llama tasa de variacion media de f en un intervalo [a,b] de su dominio al cociente: TVMf[a,b]=
·graficamente, la tasa de variacion media d una funcion f en un intervalo [a,b] es la pendiente de la recta secante a la grafica d la curva y = f(x) q pasa x los puntos A(a,f(a)) y B (b,f(b))
Ecuacion d la recta tangente: y - f(a) = f´(a) (x-a)
Recta normal: se llama recta normal a una curva en un punto P a la recta perpendicular a la tangente trazada x P.Su ecuacion es: y - f(a) = - (x-a)
y=ax => y' = ax lna
y= ex => y' = ex
y=lgax => y' = 1/xlna
y=ln x => y' = 1/x
y= senx => y' = cosx
y= cos x => y' = -senx
y= tg x => y' = 1/cos2x
y= tg x => y' = 1+tg2x
y= tg x => y' = sec2x
y= f n=> y' = n f n-1 f '
y= af => y' = af lna f '
y= ef => y' = ef f '
y= lgaf => y' = (1/ flna)f '
y= lnf => y' = (1/f)f '
y= senf => y' = cosf f '
y= cosf => y' = - senf f'
1.x)=x Df(x)=0
2. potencia f(x)=an Df(x)= n.xn-1
3. trigonometricas
f(x)= senox = cosx
f(x)= cosx = -senx
f(x)= tgx = 1+tg2x
4.producto d una funcion x un numero
f(x)= k.g(x) D f(x)= k.Dg(x)
5.suma f(x) + g (x) --> D=f´ (x) + g ' (x)
6. exponenciales
f(x)= ax -->Df(x) = ax.lna
f(x) = ex-->Df(x)= ex
7. logaritmos
f(x)=logax Df(x)= 1/lna.todo lo demas
f(x)=lnx D(x)= 1/x
8.producto de funciones
f(x).g(x) D=f`'.g+f.g'
9.cociente de una funcion
f(x)/g(x)--> D= f '.g - f .g'/g2(x)
ECUACIÓN TANGENTE A LA GRÁFICA
f'(a)(x-a)+f(a)
En f'(a) se coloca el valor que da la derivada de la función al ser x = al punto que me dan.
En (x-a) se coloca el punto que me dan sustituyendo a la a
En el final, f(a), se coloca el valor que da la función (NO la derivada) al sustituir X por el punto que me dan.
Las ecuaciones exponenciales (por ejemplo, 3x·ln3) NUNCA se hacen 0, es decir, no se pueden igualar a 0 y son crecientes en todo su dominio.
Las ecuaciones polinómicas son continuas en todo su dominio y su dominio es R
Para ver los maximos y minimos la función se iguala a 0 y se resuelte. Los valores que salgan son los puntos singulares. SE hace la tabla para estudiar el signo.
Para ver los extremos, se toman los valores de los puntos singulares como si fueran X y se sustituye en la función, poniendo el punto singular y el valor que da: (pto singular, valor que da)
Las soluciones gráficamente son el nº de veces que la gráfica corta el eje X
Procedimiento para hallar máximos y mínimos locales. a) Se calcula la derivada primera f' (x) b) Se resuelve la ecuación f' (x)=0 c) Sustituimos los valores de x obtenidos anteriormente en la función f(x) y se obtienen los posibles puntos de los máximos y mínimos. d) Hallamos la derivada segunda f''(x) e) Sustituimos en f''(x) los valores de x, posibles máximos o mínimos: · Si f''(x) > 0 es un mínimo. · Si f''(x) < 0 es un máximo. Alternativamente: En ocasiones puede resultar más cómodo, en vez de calcular la derivada segunda comprobar si, f'(a)=0 y signo f'(a-h) ¹ signo de f'(a+h) para h>0 y arbitrariamente pequeño.
1º suma
D[f(x)+g(x)]=f ´(x)+ g´(x)
2º Producto por un numero
D[k.f(x)]=k.f ´(x)
3º producto
D[f(x) . g(x)]=f ´(x).g(x)+f(X).g´(x)
4º cociente
D[f(x)/g(x)]=f ´(x).g(x) - f(x). g´(x)/ [g(x)]2
5º regla de la cadena
D{f [g(x)]}=f ´[g(x)]g´(x)
D{f (g[h(x)])}=f ´(g[h(x)]h´(x)
5º Potencia
6º Trigonometrica
D(senx)=cosx D[sen f(x)]=f ´(x).cosf(x)
D(cosx)=-senx D[cos f(x)]=f ´(x).sen(x)
D(tanx)=1+tang2x D(tanx)= ( 1+tang2 f(x))f (x)
7ºexponenciales
D(e^x)=e^x D[e^f(x)]=e^f(x).f ´(x)
D(a^x)= a^x.Lna D[a^f(x)]=a^f(x).Ln.a.f´(x)
8ºLogaritmicas
Derivada de una funcion en un punto:
·Sea f(x) una funcion continua en x=a llamamos derivada de f(x) en x=a en caso de existir f´(a)=lim de h que tiende a 0
·f(x) es derivable en x=a si (formula anterior) existe y es finito
·interpretacion geometrica: f´(a) es m t= pendiente de la tangente a la curva y=f(x) en el punto p de abcisas a
Derivabilidad y continuidad:
·si una funcion es derivable en un punto es continua en dixo punto
·lo reciproco no es cierto, es decir, hay funciones continuas que dejan de ser derivables en algun punto (graficamente se distinguen los puntos de no derivabilidad x los picos d su representacion)
Tasa de variacion media de una funcion:
·dada una funcion real de variable real f, se llama tasa de variacion media de f en un intervalo [a,b] de su dominio al cociente: TVMf[a,b]=
·graficamente, la tasa de variacion media d una funcion f en un intervalo [a,b] es la pendiente de la recta secante a la grafica d la curva y = f(x) q pasa x los puntos A(a,f(a)) y B (b,f(b))
Ecuacion d la recta tangente: y - f(a) = f´(a) (x-a)
Recta normal: se llama recta normal a una curva en un punto P a la recta perpendicular a la tangente trazada x P.Su ecuacion es: y - f(a) = - (x-a)
y=ax => y' = ax lna
y= ex => y' = ex
y=lgax => y' = 1/xlna
y=ln x => y' = 1/x
y= senx => y' = cosx
y= cos x => y' = -senx
y= tg x => y' = 1/cos2x
y= tg x => y' = 1+tg2x
y= tg x => y' = sec2x
y= f n=> y' = n f n-1 f '
y= af => y' = af lna f '
y= ef => y' = ef f '
y= lgaf => y' = (1/ flna)f '
y= lnf => y' = (1/f)f '
y= senf => y' = cosf f '
y= cosf => y' = - senf f'
1.x)=x Df(x)=0
2. potencia f(x)=an Df(x)= n.xn-1
3. trigonometricas
f(x)= senox = cosx
f(x)= cosx = -senx
f(x)= tgx = 1+tg2x
4.producto d una funcion x un numero
f(x)= k.g(x) D f(x)= k.Dg(x)
5.suma f(x) + g (x) --> D=f´ (x) + g ' (x)
6. exponenciales
f(x)= ax -->Df(x) = ax.lna
f(x) = ex-->Df(x)= ex
7. logaritmos
f(x)=logax Df(x)= 1/lna.todo lo demas
f(x)=lnx D(x)= 1/x
8.producto de funciones
f(x).g(x) D=f`'.g+f.g'
9.cociente de una funcion
f(x)/g(x)--> D= f '.g - f .g'/g2(x)
ECUACIÓN TANGENTE A LA GRÁFICA
f'(a)(x-a)+f(a)
En f'(a) se coloca el valor que da la derivada de la función al ser x = al punto que me dan.
En (x-a) se coloca el punto que me dan sustituyendo a la a
En el final, f(a), se coloca el valor que da la función (NO la derivada) al sustituir X por el punto que me dan.
Las ecuaciones exponenciales (por ejemplo, 3x·ln3) NUNCA se hacen 0, es decir, no se pueden igualar a 0 y son crecientes en todo su dominio.
Las ecuaciones polinómicas son continuas en todo su dominio y su dominio es R
Para ver los maximos y minimos la función se iguala a 0 y se resuelte. Los valores que salgan son los puntos singulares. SE hace la tabla para estudiar el signo.
Para ver los extremos, se toman los valores de los puntos singulares como si fueran X y se sustituye en la función, poniendo el punto singular y el valor que da: (pto singular, valor que da)
Las soluciones gráficamente son el nº de veces que la gráfica corta el eje X
Procedimiento para hallar máximos y mínimos locales. a) Se calcula la derivada primera f' (x) b) Se resuelve la ecuación f' (x)=0 c) Sustituimos los valores de x obtenidos anteriormente en la función f(x) y se obtienen los posibles puntos de los máximos y mínimos. d) Hallamos la derivada segunda f''(x) e) Sustituimos en f''(x) los valores de x, posibles máximos o mínimos: · Si f''(x) > 0 es un mínimo. · Si f''(x) < 0 es un máximo. Alternativamente: En ocasiones puede resultar más cómodo, en vez de calcular la derivada segunda comprobar si, f'(a)=0 y signo f'(a-h) ¹ signo de f'(a+h) para h>0 y arbitrariamente pequeño.