Chuletas y apuntes de Matemáticas de Oposición

Derivadas

∆X cambio de x = X₁- X₂              ∆Y cambio de Y= f(x₁) - f(x₀)

∆X / ∆Y  = Cociente incremental o variación media

f(x₁) f(x₀) / x₁-x₀

f ´(x₀) = variación instantánea o derivada en un punto
Xo o la pendiente en un punto o la recta tangente

lim         f(x₀+ H) - f(x₀) /h 
 H-->0                                     

     Derivabilidad y contabilidad : si f es una función derivable en Xo -> entonces f es continua en Xo * analizar la continuidad en X0 y dsp la derivabilidad

Reglas de derivación: f+g es derivable y (f+g) (x) = f ´ (x) + g ´ (x)     |     f.G es derivable  y (f.G)´ (x) = f´(x).G(x) + f(x). G´(x)    |    c.F es derivable y  (cf)´(x) = c.F´(x)   |   ... Continuar leyendo "Fundamentos del Cálculo Diferencial: Conceptos, Reglas y Aplicaciones de la Derivada" »

Propiedades de los Índices

Los índices son medidas estadísticas que permiten estudiar las fluctuaciones de una magnitud (o de un conjunto de ellas) a lo largo del tiempo o del espacio. A continuación, se detallan sus propiedades fundamentales:

• Identidad: Si coinciden los períodos base y actual, el valor del índice debe ser la unidad. Matemáticamente: I_0,0 = I_tt = 1.
• Inversión: Si se permutan los períodos actual y base de un índice, el resultado debe ser el inverso del valor inicial. Es decir: I_o,t = 1 / I_t,o.
• Circularidad (o Transitividad): Dado un período de tiempo t' menor que t, el índice entre los períodos 0 y t debe coincidir con el producto de los índices calculados a través del período intermedio. Expresión formal: I_t,

El logaritmo es la operación en la que se calcula el exponente al cual se debe elevar un número para obtener otro número. Simbólicamente se escribe:

Se lee: "Logaritmo en base a de b es igual a c si y solo si a elevado a la c da b".

Logaritmos Decimales

Cuando la base es 10, los logaritmos se llaman decimales. En ellos no es necesario indicar la base, es decir:

Logaritmos Naturales

Otros logaritmos que se utilizan con mucha frecuencia son los logaritmos naturales (se escriben ln). Estos logaritmos tienen como base el número irracional "e". En símbolos:

Con la calculadora científica... Continuar leyendo "Entendiendo los Logaritmos: Definición, Propiedades y Ecuaciones" »

Introducción a las Expresiones Algebraicas

Una expresión algebraica es toda combinación de números y letras unidos por los signos de las operaciones aritméticas. Las letras se llaman variables, incógnitas o indeterminadas.

El Valor Numérico y la Equivalencia

El valor numérico de una expresión algebraica es el número que se obtiene al sustituir las variables por números determinados y efectuar las operaciones indicadas en la expresión.

Dos expresiones algebraicas son equivalentes si los valores numéricos que toman para cualquier valor de sus variables son iguales.

Los Monomios

Un monomio es una expresión algebraica formada por el producto de un número real y una o más variables elevadas a exponentes naturales.

Propiedades de los Monomios

• El

Contrastes No Paramétricos

1. Contrastes de Bondad de Ajuste

Estos contrastes evalúan si una muestra de datos se ajusta a una distribución teórica específica.

1.1. Contraste de Ajuste a una Distribución Multinomial

Dada una población dividida en k categorías, se desea contrastar la siguiente hipótesis nula: H₀: p₁ = p₁*, p₂ = p₂*, ..., p_k = p_k* (donde p_i es la proporción poblacional de la categoría i y p_i* es el valor teórico esperado).

Para resolver el contraste, se selecciona una muestra y se registran las frecuencias observadas en cada categoría. A continuación, se calculan las frecuencias esperadas bajo el supuesto de que la hipótesis nula H₀ es cierta.

1.2. Contraste de Ajuste a una Distribución de Poisson

Se dice que una variable... Continuar leyendo "Fundamentos de Contrastes No Paramétricos: Ajuste, Independencia y Comparaciones" »

Pruebas para Determinar la Robustez de una Estimación

Para determinar la robustez de una estimación, se pueden llevar a cabo diversas pruebas estadísticas:

Prueba de Correlación Serial

• Hipótesis Nula (H0): No hay correlación serial en los residuos.
• Criterio de Decisión: Si el valor p es mayor a 0.05, se acepta H0 (no hay correlación serial).

Prueba de Heteroscedasticidad

• Hipótesis Nula (H0): La varianza de los errores es constante (homoscedasticidad).
• Criterio de Decisión: Si el valor p es mayor a 0.05, se acepta H0 (hay homoscedasticidad).

Prueba de Estabilidad

Esta prueba evalúa si los coeficientes del modelo son estables a lo largo del tiempo o de diferentes submuestras.

Pruebas de Raíz Unitaria: ADF y KPSS

Las pruebas de raíz unitaria... Continuar leyendo "Fundamentos de Econometría: Robustez, Estacionariedad y Modelos de Regresión" »

Kriging: Una Introducción

Kriging es una colección de técnicas de regresión lineal que minimizan la varianza de estimación a partir de un modelo de covarianza (R. Olea, 1991). Es considerado el mejor estimador lineal insesgado, "mejor" en el sentido del error de mínimos cuadrados para un modelo de covarianza/varianza dado. Considera los residuos como la resta entre los valores de los datos y una constante desconocida, base del variograma.

Kriging Simple

El Kriging Simple es un estimador lineal donde se estima el valor (la media se agrega posteriormente). La varianza del error se define como E((Y*(u) – Y(u))^2). Los ponderadores óptimos λi, i=1,…,n (que minimizan la varianza del error) se determinan derivando parcialmente respecto... Continuar leyendo "Kriging: El Mejor Estimador Lineal Insesgado para el Modelamiento de Recursos Mineros" »

Restricciones y la Decisión Óptima de la Empresa

Restricciones de Producción

La empresa no es capaz de fabricar todo lo que quiera a cualquier coste, sino que opera bajo restricciones:

• De tipo tecnológico: La empresa utiliza la tecnología existente, combinando factores productivos (L, K) para obtener producto en todas las formas posibles. Esto define la función de producción.
• De tipo económico: Es necesario pagar por los factores productivos, lo que implica un coste de producción que no todas las empresas pueden asumir.

La Decisión de la Empresa

La pregunta clave es: ¿Qué cantidad de factores (L, K) se deben utilizar?

Las opciones están limitadas por:

• La tecnología existente (Función de Producción).
• El precio de los factores.

El objetivo... Continuar leyendo "Optimización de la Producción: Restricciones, Isocuantas y RMST en el Largo Plazo" »

Operacions matemàtiques

Multiplicació: g·h + g·h' divisió: (g/h) (g'·h - g·h')/h elevat a 2

R. cadena: (g·h) g'(h)·h' TVM: (f(b) - f(a))/(b-a)

TVI: Fer derivada i substituir

Recta tangent: 1. Derivar equació i substituir (m) 2. Taula de valors amb eq sense derivar (y)

y = mx + n. Substituir (n). Resultat. Ex: y = 2x + 3

Eix d'ordenades: x = 0, substituir. (x, resultat)

Eix d'abcisses: y = 0. Igualar a 0. (resultat, 0)

A.V. Lim = domini. Resultat = infinit

A.H.: Lim = infinit. Resultat = num

Extrems relatius (monotonia): Derivar, igualar a 0. Taula de valors per trobar y. Resultat (x, y)

Punts d'inflexió (curvatura): = e.r, derivant 2 cops

Construcción de circunferencias tangentes a una circunferencia dada

Caso 1: Circunferencias tangentes de radio R sobre un punto de tangencia

Dada una circunferencia de radio R y un punto de tangencia sobre ella, para trazar las circunferencias tangentes con radio R, seguimos estos pasos:

• 1. Trazamos una recta que une el centro con el punto de tangencia.
• 2. Concentrados en el punto de tangencia, trazamos un arco de radio R que corta la recta en dos puntos; estos serán los centros de las soluciones.
• 3. En los puntos de intersección hallados, trazamos las circunferencias solución.

Caso 2: Circunferencias tangentes de radio R que pasan por un punto exterior

Dada una circunferencia de radio R y un punto exterior a ella, para trazar las circunferencias... Continuar leyendo "Métodos Geométricos para Trazar Circunferencias Tangentes" »