Chuletas y apuntes de Matemáticas de Oposición

Propiedades de los Índices

Los índices son medidas estadísticas que permiten estudiar las fluctuaciones de una magnitud (o de un conjunto de ellas) a lo largo del tiempo o del espacio. A continuación, se detallan sus propiedades fundamentales:

• Identidad: Si coinciden los períodos base y actual, el valor del índice debe ser la unidad. Matemáticamente: I_0,0 = I_tt = 1.
• Inversión: Si se permutan los períodos actual y base de un índice, el resultado debe ser el inverso del valor inicial. Es decir: I_o,t = 1 / I_t,o.
• Circularidad (o Transitividad): Dado un período de tiempo t' menor que t, el índice entre los períodos 0 y t debe coincidir con el producto de los índices calculados a través del período intermedio. Expresión formal: I_t,

Mantenimiento Preventivo (MTP): Tipos y Estrategias

Mantenimiento Preventivo Sistemático

Se reponen los elementos con cierta periodicidad. Puede establecerse en términos absolutos (cada X tiempo) o relativos (cada X piezas). Se aplica especialmente para componentes que presentan un alto coste por el fallo.

Mantenimiento Preventivo Condicional

La actuación de mantenimiento depende directamente del estado actual del componente o equipo.

Estrategias de Sustitución Preventiva

Sustitución a Intervalos Constantes (SP)

Se caracteriza porque la sustitución se realiza bien al producirse el fallo (SC - Sustitución Correctiva) o al agotarse un intervalo de tiempo de longitud constante (SP). La probabilidad del fallo es independiente del tiempo transcurrido

Septiembre 2009

Ejercicio 1: Problema de Programación Lineal

Se plantea un problema de optimización de beneficios basado en la fabricación y barnizado de dos tipos de productos, A y B.

Datos del problema:

Sea x la cantidad en m² del producto tipo A e y la cantidad en m² del producto tipo B.

Planteamiento y Restricciones:

• Restricción de fabricación: 0,3x + 0,2y ≤ 240 (equivalente a 3x + 2y ≤ 2400)
• Restricción de barnizado: 0,2x + 0,2y ≤ 200 (equivalente a x + y ≤ 1000)
• No negatividad: x ≥ 0, y ≥ 0

Función Objetivo (Maximizar Beneficio):

Z(x, y) = 4x + 3y

Cálculo de Vértices y Solución:

• Vértice 1: Z(0, 1000) = 3000
• Vértice 2:

Restricciones y la Decisión Óptima de la Empresa

Restricciones de Producción

La empresa no es capaz de fabricar todo lo que quiera a cualquier coste, sino que opera bajo restricciones:

• De tipo tecnológico: La empresa utiliza la tecnología existente, combinando factores productivos (L, K) para obtener producto en todas las formas posibles. Esto define la función de producción.
• De tipo económico: Es necesario pagar por los factores productivos, lo que implica un coste de producción que no todas las empresas pueden asumir.

La Decisión de la Empresa

La pregunta clave es: ¿Qué cantidad de factores (L, K) se deben utilizar?

Las opciones están limitadas por:

• La tecnología existente (Función de Producción).
• El precio de los factores.

El objetivo...

Derivadas

∆X cambio de x = X₁- X₂              ∆Y cambio de Y= f(x₁) - f(x₀)

∆X / ∆Y  = Cociente incremental o variación media

f(x₁) f(x₀) / x₁-x₀

f ´(x₀) = variación instantánea o derivada en un punto
Xo o la pendiente en un punto o la recta tangente

lim         f(x₀+ H) - f(x₀) /h 
 H-->0                                     

     Derivabilidad y contabilidad : si f es una función derivable en Xo -> entonces f es continua en Xo * analizar la continuidad en X0 y dsp la derivabilidad

Reglas de derivación: f+g es derivable y (f+g) (x) = f ´ (x) + g ´ (x)     |     f.G es derivable  y (f.G)´ (x) = f´(x).G(x) + f(x). G´(x)    |    c.F es derivable y  (cf)´(x) = c.F´(x)   |   ...

Violación De los supuestos

Si existe alguna evidencia de violación a alguno de los Supuestos (multicolinealidad, autocorrelación, varianza de los errores Poblacionales, sesgo de especificación) hay que analizar el estimador MCO en Términos de si se alteran las propiedades de Insesgamiento o de Varianza Mínima.

Multicolinealidad
DEFINICIÓN Las variables explicativas están conectadas entre ellas Desde un punto de vista estadístico.

EFECTOS

Si existe multicolinealidad los estimadores siguen siendo MELI, se Observan R² altos y “t” bajos.

DETECCIÓN

Factor de Inflación de Varianza (FIV) por sobre 10, es indicio de Una fuerte colinealidad de dicha variable en el modelo.

CORRECCIÓN

No Hacer nada, realizar cambios en la muestra, analizar...

Introducción a las Expresiones Algebraicas

Una expresión algebraica es toda combinación de números y letras unidos por los signos de las operaciones aritméticas. Las letras se llaman variables, incógnitas o indeterminadas.

El Valor Numérico y la Equivalencia

El valor numérico de una expresión algebraica es el número que se obtiene al sustituir las variables por números determinados y efectuar las operaciones indicadas en la expresión.

Dos expresiones algebraicas son equivalentes si los valores numéricos que toman para cualquier valor de sus variables son iguales.

Los Monomios

Un monomio es una expresión algebraica formada por el producto de un número real y una o más variables elevadas a exponentes naturales.

Propiedades de los Monomios

• El

Introducción a Factores y Divisores

Todos los números que aparecen en las distintas descomposiciones de un número se llaman factores o divisores de ese número.

Algunos de estos factores se pueden descomponer a su vez como producto de números más pequeños. Les llamamos números compuestos. Otros no se pueden descomponer más, a no ser que se utilicen ellos mismos en la descomposición. Se llaman números primos.

Factorización Completa en Primos

Cuando expresamos un número como un producto de factores primos, decimos que lo hemos factorizado completamente. A este proceso se le llama factorización en primos.

Nota Importante sobre el Número 1

El 1 es divisor de cualquier número natural, pero no lo consideramos número primo.

Definiciones Clave

Introducción a las Cónicas y la Circunferencia

Las Cónicas: son curvas planas obtenidas mediante la intersección de un cono con un plano.

Circunferencia: es el conjunto de todos los puntos del plano cartesiano que equidistan de un punto fijo llamado centro.

Métodos de Razonamiento y Lógica Matemática

Método inductivo: es aquel que parte de lo particular a lo general.

Método deductivo: es aquel que parte de lo general a lo particular.

Hipótesis: es una proposición con posibilidad de ser cierta de acuerdo a la observación.

Teorema: es una afirmación o principio que se acepta solo después de que se ha comprobado mediante el razonamiento.

Partes de un Teorema

• El enunciado del teorema.
• Una figura general que ilustre el teorema.
• Una afirmación

Construcción de circunferencias tangentes a una circunferencia dada

Caso 1: Circunferencias tangentes de radio R sobre un punto de tangencia

Dada una circunferencia de radio R y un punto de tangencia sobre ella, para trazar las circunferencias tangentes con radio R, seguimos estos pasos:

• 1. Trazamos una recta que une el centro con el punto de tangencia.
• 2. Concentrados en el punto de tangencia, trazamos un arco de radio R que corta la recta en dos puntos; estos serán los centros de las soluciones.
• 3. En los puntos de intersección hallados, trazamos las circunferencias solución.

Caso 2: Circunferencias tangentes de radio R que pasan por un punto exterior

Dada una circunferencia de radio R y un punto exterior a ella, para trazar las circunferencias...