Chuletas y apuntes de Matemáticas de Oposición

Derivadas

∆X cambio de x = X₁- X₂              ∆Y cambio de Y= f(x₁) - f(x₀)

∆X / ∆Y  = Cociente incremental o variación media

f(x₁) f(x₀) / x₁-x₀

f ´(x₀) = variación instantánea o derivada en un punto
Xo o la pendiente en un punto o la recta tangente

lim         f(x₀+ H) - f(x₀) /h 
 H-->0                                     

     Derivabilidad y contabilidad : si f es una función derivable en Xo -> entonces f es continua en Xo * analizar la continuidad en X0 y dsp la derivabilidad

Reglas de derivación: f+g es derivable y (f+g) (x) = f ´ (x) + g ´ (x)     |     f.G es derivable  y (f.G)´ (x) = f´(x).G(x) + f(x). G´(x)    |    c.F es derivable y  (cf)´(x) = c.F´(x)   |   ... Continuar leyendo "Fundamentos del Cálculo Diferencial: Conceptos, Reglas y Aplicaciones de la Derivada" »

Propiedades de los Índices

Los índices son medidas estadísticas que permiten estudiar las fluctuaciones de una magnitud (o de un conjunto de ellas) a lo largo del tiempo o del espacio. A continuación, se detallan sus propiedades fundamentales:

• Identidad: Si coinciden los períodos base y actual, el valor del índice debe ser la unidad. Matemáticamente: I_0,0 = I_tt = 1.
• Inversión: Si se permutan los períodos actual y base de un índice, el resultado debe ser el inverso del valor inicial. Es decir: I_o,t = 1 / I_t,o.
• Circularidad (o Transitividad): Dado un período de tiempo t' menor que t, el índice entre los períodos 0 y t debe coincidir con el producto de los índices calculados a través del período intermedio. Expresión formal: I_t,

El logaritmo es la operación en la que se calcula el exponente al cual se debe elevar un número para obtener otro número. Simbólicamente se escribe:

Se lee: "Logaritmo en base a de b es igual a c si y solo si a elevado a la c da b".

Logaritmos Decimales

Cuando la base es 10, los logaritmos se llaman decimales. En ellos no es necesario indicar la base, es decir:

Logaritmos Naturales

Otros logaritmos que se utilizan con mucha frecuencia son los logaritmos naturales (se escriben ln). Estos logaritmos tienen como base el número irracional "e". En símbolos:

Con la calculadora científica... Continuar leyendo "Entendiendo los Logaritmos: Definición, Propiedades y Ecuaciones" »

Contrastes No Paramétricos

1. Contrastes de Bondad de Ajuste

Estos contrastes evalúan si una muestra de datos se ajusta a una distribución teórica específica.

1.1. Contraste de Ajuste a una Distribución Multinomial

Dada una población dividida en k categorías, se desea contrastar la siguiente hipótesis nula: H₀: p₁ = p₁*, p₂ = p₂*, ..., p_k = p_k* (donde p_i es la proporción poblacional de la categoría i y p_i* es el valor teórico esperado).

Para resolver el contraste, se selecciona una muestra y se registran las frecuencias observadas en cada categoría. A continuación, se calculan las frecuencias esperadas bajo el supuesto de que la hipótesis nula H₀ es cierta.

1.2. Contraste de Ajuste a una Distribución de Poisson

Se dice que una variable... Continuar leyendo "Fundamentos de Contrastes No Paramétricos: Ajuste, Independencia y Comparaciones" »

Pruebas para Determinar la Robustez de una Estimación

Para determinar la robustez de una estimación, se pueden llevar a cabo diversas pruebas estadísticas:

Prueba de Correlación Serial

• Hipótesis Nula (H0): No hay correlación serial en los residuos.
• Criterio de Decisión: Si el valor p es mayor a 0.05, se acepta H0 (no hay correlación serial).

Prueba de Heteroscedasticidad

• Hipótesis Nula (H0): La varianza de los errores es constante (homoscedasticidad).
• Criterio de Decisión: Si el valor p es mayor a 0.05, se acepta H0 (hay homoscedasticidad).

Prueba de Estabilidad

Esta prueba evalúa si los coeficientes del modelo son estables a lo largo del tiempo o de diferentes submuestras.

Pruebas de Raíz Unitaria: ADF y KPSS

Las pruebas de raíz unitaria... Continuar leyendo "Fundamentos de Econometría: Robustez, Estacionariedad y Modelos de Regresión" »

Kriging: Una Introducción

Kriging es una colección de técnicas de regresión lineal que minimizan la varianza de estimación a partir de un modelo de covarianza (R. Olea, 1991). Es considerado el mejor estimador lineal insesgado, "mejor" en el sentido del error de mínimos cuadrados para un modelo de covarianza/varianza dado. Considera los residuos como la resta entre los valores de los datos y una constante desconocida, base del variograma.

Kriging Simple

El Kriging Simple es un estimador lineal donde se estima el valor (la media se agrega posteriormente). La varianza del error se define como E((Y*(u) – Y(u))^2). Los ponderadores óptimos λi, i=1,…,n (que minimizan la varianza del error) se determinan derivando parcialmente respecto... Continuar leyendo "Kriging: El Mejor Estimador Lineal Insesgado para el Modelamiento de Recursos Mineros" »

Restricciones y la Decisión Óptima de la Empresa

Restricciones de Producción

La empresa no es capaz de fabricar todo lo que quiera a cualquier coste, sino que opera bajo restricciones:

• De tipo tecnológico: La empresa utiliza la tecnología existente, combinando factores productivos (L, K) para obtener producto en todas las formas posibles. Esto define la función de producción.
• De tipo económico: Es necesario pagar por los factores productivos, lo que implica un coste de producción que no todas las empresas pueden asumir.

La Decisión de la Empresa

La pregunta clave es: ¿Qué cantidad de factores (L, K) se deben utilizar?

Las opciones están limitadas por:

• La tecnología existente (Función de Producción).
• El precio de los factores.

El objetivo... Continuar leyendo "Optimización de la Producción: Restricciones, Isocuantas y RMST en el Largo Plazo" »

Operacions matemàtiques

Multiplicació: g·h + g·h' divisió: (g/h) (g'·h - g·h')/h elevat a 2

R. cadena: (g·h) g'(h)·h' TVM: (f(b) - f(a))/(b-a)

TVI: Fer derivada i substituir

Recta tangent: 1. Derivar equació i substituir (m) 2. Taula de valors amb eq sense derivar (y)

y = mx + n. Substituir (n). Resultat. Ex: y = 2x + 3

Eix d'ordenades: x = 0, substituir. (x, resultat)

Eix d'abcisses: y = 0. Igualar a 0. (resultat, 0)

A.V. Lim = domini. Resultat = infinit

A.H.: Lim = infinit. Resultat = num

Extrems relatius (monotonia): Derivar, igualar a 0. Taula de valors per trobar y. Resultat (x, y)

Punts d'inflexió (curvatura): = e.r, derivant 2 cops

Mantenimiento Preventivo (MTP): Tipos y Estrategias

Mantenimiento Preventivo Sistemático

Se reponen los elementos con cierta periodicidad. Puede establecerse en términos absolutos (cada X tiempo) o relativos (cada X piezas). Se aplica especialmente para componentes que presentan un alto coste por el fallo.

Mantenimiento Preventivo Condicional

La actuación de mantenimiento depende directamente del estado actual del componente o equipo.

Estrategias de Sustitución Preventiva

Sustitución a Intervalos Constantes (SP)

Se caracteriza porque la sustitución se realiza bien al producirse el fallo (SC - Sustitución Correctiva) o al agotarse un intervalo de tiempo de longitud constante (SP). La probabilidad del fallo es independiente del tiempo transcurrido

Conceptos Fundamentales en Estadística

La muestra es el colectivo sobre el cual se realizan observaciones con el fin de extrapolar los resultados al universo.

La población estadística, o universo, es el conjunto de individuos de referencia sobre el cual se realiza una serie de observaciones consideradas relevantes para la investigación.

Una observación es el conjunto de valores de cada variable estadística medidos sobre un mismo individuo.

Dado que es imposible examinar a todo el universo de individuos, las observaciones se realizan sobre un número limitado de ellos, escogido del universo objeto de estudio. Este subconjunto es lo que se denomina muestra.

La Diferenciación de Estadístico, Parámetro y Estimador

Utilizando los valores que... Continuar leyendo "Fundamentos de Estadística: Muestras, Poblaciones y Medidas Clave" »