Chuletas y apuntes de Matemáticas de Bachillerato y Selectividad

Concepto de Función Matemática

Unha función é unha relación entre dúas magnitudes, de tal maneira que a cada valor da primeira asígnalle un único valor da segunda. Se A e B son dous conxuntos, que chamaremos conxunto inicial e conxunto final, unha función f de A en B, que se expresa f: A → B, relaciona cada elemento de A cun único elemento de B. Se a ∈ A está relacionado con b ∈ B, escríbese f(a) = b e dise que b é a imaxe de a e que a é a antiimaxe de b.

Dominio e Percorrido dunha Función

• Dominio (Dom(f)): É o conxunto formado polos elementos de A que teñen imaxe: Dom(f) = {x ∈ A / f(x) ∈ B}. Un elemento calquera do dominio, "x", denomínase variable independente.
• Percorrido ou Imaxe (Im(f)): É o conxunto formado polas

Un caso particular son as funcións de proporcionalidade inversa, y = k/x, cuxa gráfica son hipérbolas equiláteras.

Funcións Irracionais

y = f(x) = n√g(x)

• Dominio:
  • Dom(f) = R no caso de que n sexa impar.
  • Dom(f) = R - {x / g(x) < 0} no caso de que n sexa par.

Función Exponencial

y = f(x) = ax, onde a é positivo e distinto de 1.

• Dominio: Dom(f) = R
• Imaxe: Im(f) = R⁺
• Se a > 1, a función crece a medida que aumenta x.
• Se a < 1, a función decrece a medida que aumenta x.

Función Logarítmica

y = f(x) = loga x, onde a é positivo e a ≠ 1.

• Dominio: Dom(f) = (0, +∞) (o logaritmo dos números negativos e do 0 non son números reais).
• Imaxe: Im(f) = R
• Se a > 1, é crecente.
• Se a < 1, é decrecente.
• Corta o eixe OX no punto (1,0).
• A función

• Anatomía Dental

  Incisivos Centrales Superiores (ICS)

  Erupcionan a los 7 años. Ocluyen con los incisivos centrales inferiores y la mitad mesial de los incisivos laterales inferiores. VESTIBULAR: forma de pala, superficie convexa con dos bordes. Corona más larga inciso-cervical que mesio-distal. Más estrecha en el tercio cervical y ancha en el incisal. Más convexa distal y recta mesial. Línea cervical convexa en sentido apical. INCISAL: ancho y mayor diámetro mesio-distal de todos los incisivos. Ángulo mesial recto y distal redondeado. Tres mamelones que desaparecen con el tiempo. PALATINA: forma triangular, superficie cóncava delimitada por dos rebordes marginales que dan lugar al cíngulo, donde puede formarse el agujero ciego (punto

Resumen de Conceptos Fundamentales de Matrices

Definición y Estructura de Matrices

Las matrices son distribuciones rectangulares de números o funciones. Se denotan con letras mayúsculas y se componen de:

• Filas: Disposición horizontal.
• Columnas: Disposición vertical.

Tipos de Matrices según su Dimensión

Matriz Cuadrada

Tiene igual número de filas y de columnas (M = N).

Matriz Rectangular

Posee diferente número de filas y de columnas. Se clasifica en:

• Vertical: Si M > N (más filas que columnas).
• Horizontal: Si M < N (más columnas que filas).

Vector Fila o Vector Columna

Es una matriz que tiene una sola fila o una sola columna, respectivamente.

Elementos y Notación Matricial

El elemento es cada uno de los números o funciones que componen la... Continuar leyendo "Fundamentos de Matrices y Álgebra Lineal: Conceptos, Tipos y Operaciones Esenciales" »

Introducció a Excel i el full de càlcul

Excel és un gestor de fulls de càlcul. Un document inicial d'Excel és una llibreta de càlcul: tenim tres fulls de càlcul actius. Un full de càlcul consta de 65.536 files x 256 columnes. El contingut d'una cel·la pot ser text, dates i hores, nombres en diferents formats, fórmules i funcions.

El desplaçament dins el full de càlcul es pot realitzar des del teclat: fletxes, AvPàg, RePàg, Ctrl+Inici, Ctrl+Fi, Fi+fletxa. L'accés al menú Format/Cel·les ens permet accedir a la majoria de les modificacions que voldrem efectuar sobre les cel·les.

Tipus de dades i formats

Text: qualsevol entrada que Excel no reconeix com a nombre o fórmula. Si barregem text amb nombres, la cel·la adoptarà el format... Continuar leyendo "Guia bàsica d'Excel: Funcions, Formats i Errors" »

Equilibri del mercat

Qs=Qd. En aquesta empresa el preu d'equilibri és de x€, això vol dir que en aquest punt coincideixen la quantitat demandada i la quantitat ofertada.

Maximització de beneficis

CMg=IMg (P). La quantitat amb la qual l'empresa obtindrà els màxims beneficis serà produint x u.

Quins beneficis

BT=IT(P·Q)-CT(CF+CV). (+)En aquest punt l'empresa obtindrà un benefici de x€. (-)En aquest punt l'empresa farà fallida ja que el resultat obtingut és negatiu.

Representa punt equilibri

dos taules de valors amb el preu i dos valors.

Representa maximització beneficis

IMg(P) constant.

Representa maximització beneficis

CMg: Fórmula vèrtex= -b entre 2·a --- el resultat el substitueixes per la Q de la funció de CMg, (vertex, resultat... Continuar leyendo "Anàlisi de mercat i beneficis en l'empresa" »

Si a és un nombre real,

+ a = ∞

· a = ∞

+ ∞ = ∞

· ∞ = ∞

elevat a +∞ = a elevat a +∞ = 0 (-1 < a < 1). a elevat a menys ∞ = 1/a elevat a +∞

Tipus d'indeterminació.

Anaximandre de Milet

Discipul directe de Tales, Anaximandre va tenir una vista global de la seva temàtica. El món està construït segons proporcions matemàtiques i l'univers té forma esférica. El centre és la Terra i els planetes giren al voltant d'ella. Intentava donar solucions a través de la natura i les observacions. La seva única obra coneguda es deia "Sobre la naturalesa".

La seva concepció de l'arkhé

Per Anaximandre, l'arkhé que governa tot l'anomena APEIRON. L'APEIRON és allò il·limitat que no té límits tant interiors com exteriors.

Conflictes i oposicions

Al món, les coses apareixen alimentades per conflictes contraris. No té ni principi ni final. Aquest món està format per aquests contraris i conflictes, com el FRIÓ... Continuar leyendo "Anaximandre de Milet: Filòsof i la seva Visió de l'Univers" »

Components d’una Unitat Didàctica

1. Introducció: Presentació del contingut principal de la Unitat Didàctica (UD), motivació i curs al que va dirigit.
2. Graella de cada racó amb: Descripció del racó, continguts matemàtics, objectius d’aprenentatge i criteris d’avaluació, organització social, temporització, materials i recursos de cada racó.
3. Avaluació i instruments d’avaluació.
4. Atenció a la diversitat.

*Els punts 3 i 4 es poden incloure a la descripció de cada sessió.

Proporcionalitat i Semblança

Semblança de Polígons

Dues figures poligonals són semblants quan tenen tots els costats homòlegs proporcionals i tots els angles homòlegs són iguals. La raó de semblança (K) és el nombre pel qual multipliquem tots els costats... Continuar leyendo "Guia Didàctica: Fraccions i Proporcionalitat" »