Integralen kalkulua eta aldaketa-aldagaiak
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I. Parametro-kurbaren integrala
f(x,y,z) = z. r: (0,1) → R^3, r(t) = (t cos t, t sin t, t)
r'(t) = (cos t - t sin t, sin t + t cos t, 1).
Bere normala: ||r'(t)|| = sqrt((sin t + t cos t)^2 + (cos t - t sin t)^2 + 1) = sqrt(2 + t^2).
Beraz, integralaren balioa:
- ∫_0^1 f(r(t)) · ||r'(t)|| dt = ∫_0^1 t sqrt(2 + t^2) dt.
- Integratzeko: u = 2 + t^2, du = 2t dt → ∫ t sqrt(2 + t^2) dt = 1/2 ∫ sqrt(u) du = 1/3 (2 + t^2)^{3/2} + C.
- Ebaluatuta 0-tik 1-era: 1/3 (3^{3/2} − 2^{3/2}).
II. Aldaketa: u = x^2 + y^2, v = x^2 − y^2 (eremuetako integrazioa)
Hasierako adierazpena: x^2 + y^2 = 4, x^2 + y^2 = 9, x^2 − y^2 = 4 eta x^2 − y^2 = 1.
Eraldaketa: u = x^2 + y^2, v = x^2 − y^2. (Lehen laugarren kuadrantean edo x,y ≥ 0 baldintzan, x = sqrt((u+... Continuar leyendo "Integralen kalkulua eta aldaketa-aldagaiak" »
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