Trigonometría, Movimiento Armónico Simple y Efecto Doppler: Conceptos y Ejercicios

Ángulos en Radianes y Función Seno

A continuación se presentan los valores de la función seno para los ángulos más comunes expresados en radianes:

• 0 rad: sen(0) = 0
• π/4 rad: sen(π/4) = sen(45°) ≈ 0,707
• π/2 rad: sen(π/2) = sen(90°) = 1
• π rad: sen(π) = sen(180°) = 0
• 3π/2 rad: sen(3π/2) = sen(270°) = -1
• 2π rad: sen(2π) = sen(360°) = 0

Tabla de Conversión: Grados a Radianes

Relación entre grados sexagesimales y radianes:

• 0°: 0 rad
• 45°: π/4 rad
• 90°: π/2 rad
• 135°: 3π/4 rad
• 180°: π rad (un pi)
• 225°: 5π/4 rad
• 270°: 3π/2 rad (simplificado)
• 315°: 7π/4 rad
• 360°: 2π rad o 0 rad

Frecuencia Angular (ω₀)

La fórmula fundamental es ω₀ = 2πf (rad/s). Ejemplos de cálculo:

• 4 ciclos/seg (4 Hz): ω₀ = 2π × 4 = 8π rad/s
• 10 ciclos/seg (10 Hz): ω₀ = 2π × 10 = 20π rad/s
• 100.000 ciclos/seg (100.000 Hz): ω₀ = 2π × 100.000 = 200.000π rad/s (200 × 10³π rad/s)

Cálculo Diferencial Aplicado

Derivadas de Funciones de Posición

Dada la función polinómica:
x(t) = t² + t + 1
Su derivada (velocidad) es:
x'(t) = 2t + 1

Derivadas de Funciones Trigonométricas

• Si x(t) = sen(t), entonces x'(t) = cos(t)
• Si x(t) = cos(t), entonces x'(t) = -sen(t)
• Para una función con constante: x(t) = k sen(rad)
• Velocidad angular: v = x'(t) = k × cos(t)

Función de Posición en Movimiento Armónico Simple (MAS)

Definición de variables:

• k = A: Constante de amplitud.
• φ: Fase inicial (rad).
• ω₀: Frecuencia angular (rad/s).
• Fórmula: x(t) = A sen(ω₀t + φ)

Ejercicio Práctico de MAS

Enunciado: Calcular la función de posición donde existe un desfase de π rad con una frecuencia de oscilación de 10 Hz, donde la amplitud máxima es de 0,1 m. Calcular la posición en 1 s, 10 s y 20 s.

Resolución:

1. Hallar ω₀:
ω₀ = 2πf = 2π × 10 = 20π rad/s

2. Definir la función:
x(t) = 0,1 sen(20πt + π)

Ejemplos Adicionales de Cálculo de Posición

Caso 1: t = 0

x(0) = 40 sen(7 × 0 + π/3)
x(0) = 40 sen(π/3)
x(0) = 40 × 0,866
x = 34,64

Caso 2: t = 2 seg

x(2) = 40 sen(7 × 2 + π/3)
x(2) = 40 sen(14 + π/3)
x(2) ≈ 40 sen(74°) (aproximación)
x(2) = 40 × 0,96
x = 38,4

El Efecto Doppler

El efecto Doppler describe el cambio en la frecuencia percibida debido al movimiento relativo entre la fuente y el observador.

Fórmulas Generales

Cuando la fuente se acerca:
f' = f [1 / (1 - v_s/v)]

Cuando la fuente se aleja:
f' = f [1 / (1 + v_s/v)]

Ejemplo de Cálculo

Datos: Velocidad del sonido (v) = 340 m/seg. Velocidad de la fuente (v_s) = 70 m/seg.
Relación v_s/v = 70/340 ≈ 0,20.
Reemplazo en la fórmula de acercamiento:
1 / (1 - 0,20) = 1 / 0,8 = 1,25

Ejercicio: Frecuencia de un Observador

Una fuente de 1 kHz (1000 Hz):

• Si se aleja a 20 m/seg:
  f' = 1000 [1 / (1 + 20/340)]
  f' = 1000 [1 / 1,058]
  f' = 1000 × 0,945
  f' ≈ 945 Hz
• Si se acerca a 100 m/seg: Se cambia el signo en el denominador (1 - v_s/v).