Transformaciones Geométricas: Isometrías y Semejanza en el Arte y Diseño

Transformaciones Geométricas: Isometrías y Semejanza

Las isometrías son transformaciones del plano en las que se conservan las formas y medidas de las figuras, también conocidas como movimientos rígidos.

Tipos de Isometrías

Traslación

Propiedades:

• La imagen de un segmento es otro segmento de su misma longitud y paralelo a este.
• La imagen de un ángulo es otro ángulo de la misma medida.

Conclusión: Una figura y su imagen por una traslación son directamente iguales.

Simetría Axial o Reflexión

Es la simetría alrededor de un eje.

Propiedades:

• Todo segmento de puntos homólogos es perpendicular al eje de simetría. Este eje es la mediatriz de dicho segmento.
• Los puntos del eje de simetría son puntos dobles porque son simétricos a sí mismos.
• Todas las rectas perpendiculares al eje de simetría son rectas dobles, ya que son simétricas de sí mismas.

La simetría axial transforma una figura en una figura inversamente igual.

Rotación (Giro)

Propiedades:

• Las figuras homólogas son directamente iguales.
• El ángulo formado por dos rectas (o segmentos) homólogas en un giro es igual al ángulo de giro.

Simetría Central (o Puntual)

Se denomina así a la isometría equivalente a un giro cuya amplitud es de 180° y cuyo centro es el punto P. Es un caso particular de giro.

Simetría Rotacional

Definición: Una figura posee simetría rotacional cuando la imagen de la figura coincide con ella misma al girar un cierto ángulo comprendido entre 0° y 360° alrededor de un punto. El centro de giro es el centro de rotación de la figura.

Simetría con Deslizamiento (Traslación Reflejada)

Definición: Cualquier combinación de movimientos considerados hasta ahora (traslación, giro o simetría) puede aplicarse sucesivamente a una figura dada. La simetría con deslizamiento es la composición de una simetría axial y una traslación.

Ejemplo: Huellas sobre la arena en trayectoria rectilínea.

Teorema de Thales

El Teorema de Thales establece que si dos rectas r y s se cortan por un sistema de paralelas, los segmentos determinados por los puntos de intersección sobre una de ellas son proporcionales a los determinados por los puntos correspondientes de la otra.

Semejanza Geométrica

La semejanza es una transformación que resulta al aplicar a una figura una homotecia, seguida de un movimiento (isometría como traslación, giro o simetría). Esta transformación conserva las propiedades de la homotecia, que son independientes de la posición.

Dos figuras homotéticas conservan el paralelismo y la medida de los ángulos.

Podemos decir que dos figuras son semejantes cuando tienen la misma forma, aunque no necesariamente el mismo tamaño.

Criterios de Semejanza de Triángulos

• Primer criterio (LAL): Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos es igual.
• Segundo criterio (AAA): Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales.
• Tercer criterio (LLL): Dos triángulos son semejantes si los tres lados de uno de ellos son proporcionales a los correspondientes del otro.

Congruencia de Figuras y Triángulos

Dos figuras planas son congruentes si una de ellas puede ser convertida en la otra por medio de movimientos rígidos: rotación, traslación o simetría con respecto a una recta.

Criterios de Congruencia de Triángulos

• LLL: Si tienen los tres lados iguales.
• LAL: Si tienen dos lados iguales y el ángulo que forman entre ellos.
• ALA: Si tienen un lado igual y los dos ángulos contiguos.
• LLA: Si tienen dos lados iguales y el ángulo opuesto al lado mayor.