Teoría General de Deformaciones Cartográficas y la Indicatriz de Tissot

Teoría General de Deformaciones Cartográficas

1. Obtención de Elementos Diferenciales sobre el Elipsoide

Los elementos diferenciales en la superficie del elipsoide o la esfera se deducen a partir de la primera forma fundamental de la superficie:

• Elemento diferencial lineal (ds): La distancia métrica se obtiene de la primera forma fundamental:
  ds² = E · du² + 2F · du · dv + G · dv².
  Definiendo las derivadas respecto a los parámetros coordenados:
  • E = x_u · x_u = ρ²
  • F = x_u · x_v = 0 (red ortogonal de meridianos y paralelos)
  • G = x_v · x_v = N² · cos²φ = r²
  Por consiguiente:
  • Para el elipsoide: ds² = ρ² · dφ² + r² · dλ²
  • Para la esfera (donde ρ = N = R y r = R · cosφ): ds² = R² · dφ² + R² · cos²φ · dλ²
• Elemento diferencial angular (θ): Viene dado por la relación entre los arcos de meridiano y paralelo:
  tg θ = ds_m / ds_p, donde ds_m = ρ · dφ y ds_p = r · dλ.
  Resultando:
  • En el elipsoide: tg θ = (ρ · dφ) / (r · dλ)
  • En la esfera: tg θ = dφ / (cosφ · dλ)
• Elemento diferencial de superficie (dS): Se define mediante el determinante de la primera forma fundamental:
  dS = √(E · G - F²) · dφ · dλ.
  Sustituyendo los coeficientes:
  • En el elipsoide: dS = ρ · r · dφ · dλ
  • En la esfera: dS = R² · cosφ · dφ · dλ

2. Obtención de Elementos Diferenciales sobre el Plano de Proyección

Dada la función de proyección x = f(φ, λ) e y = g(φ, λ):

• Elemento diferencial de línea transformado (ds'):
  ds' = √(dx² + dy²).
  Diferenciando las coordenadas cartesianas:
  • dx = (∂f / ∂φ) dφ + (∂f / ∂λ) dλ = f_φ · dφ + f_λ · dλ
  • dy = (∂g / ∂φ) dφ + (∂g / ∂λ) dλ = g_φ · dφ + g_λ · dλ
  Sustituyendo y agrupando términos:
  ds'² = (f_φ² + g_φ²) dφ² + (f_λ² + g_λ²) dλ² + 2(f_φ · f_λ + g_φ · g_λ) dφ · dλ.
  Expresado mediante los nuevos coeficientes métricos:
  ds' = √(E' · dφ² + 2F' · dφ · dλ + G' · dλ²).
• Elemento diferencial angular proyectado (θ'):
  tg θ' = ds'_m / ds'_p, con ds'_m = √E' · dφ y ds'_p = √G' · dλ.
  Por tanto: tg θ' = √(E' / G') · (dφ / dλ).
• Elemento diferencial de superficie proyectado (dS'):
  A partir del área del triángulo A_t = (½) · |AB| · |BC| · sen(α), el área del paralelogramo infinitesimal transformado es el doble:
  dS' = |A'B'| · |A'D'| · sen(θ_A'^B' - θ_A'^D').
  Donde A'B' = ds'_m = √E' · dφ y A'D' = ds'_p = √G' · dλ.
  Desarrollando el seno de la diferencia angular: sen(θ_A'^B' - θ_A'^D') = sen θ_A'^B' · cos θ_A'^D' - cos θ_A'^B' · sen θ_A'^D'.
  Sabiendo que:
  • sen θ'_A'^D' = g_λ / √G', cos θ'_A'^D' = f_λ / √G'
  • sen θ'_A'^B' = g_φ / √E', cos θ'_A'^B' = f_φ / √E'
  Obtenemos la relación del área proyectada:
  dS' = (g_φ · f_λ - f_φ · g_λ) · dφ · dλ.

3. Módulos de Deformación

• Módulo de deformación lineal (k₁): Relación entre la distancia diferencial plana y la del elipsoide:
  k₁ = ds' / ds = √(E' · dφ² + 2F' · dφ · dλ + G' · dλ²) / √(ρ² · dφ² + r² · dλ²).
  Si k₁ = 1, la proyección se denomina automecoica (conserva la escala en esa dirección).
• Módulo de deformación angular (k₃): El ángulo θ formado por dos curvas en el elipsoide y el ángulo θ' entre sus correspondientes transformadas:
  k₃ = θ' - θ o bien en términos tangenciales: tg θ' - tg θ = √(E' / G') · (dφ / dλ) - (ρ · dφ) / (r · dλ).
  Si k₃ = 0, la proyección es conforme u ortomórfica (conserva los ángulos locales).
• Módulo de deformación superficial (k₂): Cociente entre el elemento de superficie proyectado y el original:
  k₂ = dS' / dS = [(g_φ · f_λ - f_φ · g_λ) · dφ · dλ] / (ρ · r · dφ · dλ) = (g_φ · f_λ - f_φ · g_λ) / (ρ · r).
  Si k₂ = 1, la proyección es equivalente (conserva las áreas).

4. Deformaciones a partir de los Ejes de la Elipse Indicatriz de Tissot

La indicatriz de Tissot transforma un círculo infinitesimal unitario de radio ds = 1 en una elipse de semiejes principal a y secundario b.

• Deformación lineal en una dirección:
  Definiendo las componentes locales ξ y η sobre los ejes principales:
  • ds = 1, con ξ = cos u y η = sen u.
  • Valores transformados: ξ' = a · cos u y η' = b · sen u.
  El módulo lineal en cualquier dirección orientada por el ángulo u es:
  k₁ = |PA'| / |PA| = √(ξ'² + η'²) / √(ξ² + η²) = √(a² · cos²u + b² · sen²u) / √(cos²u + sen²u).
  Por consiguiente: k₁² = a² · cos²u + b² · sen²u.
• Deformación angular y condición de conformidad:
  En una transformación general:
  tg u' = η' / ξ' = (b · sen u) / (a · cos u) = (b / a) · tg u (con b ≤ a).
  La distorsión angular se describe por la fórmula de la tangente de la diferencia:
  tg(u' - u) = (tg u' - tg u) / (1 + tg u' · tg u) = [(b - a) · tg u] / [a + b · tg²u].
  La máxima deformación angular se alcanza cuando los ángulos son complementarios (u + u' = π / 2):
  tg(u' - u)_máx = (b - a) / (2 · √(a · b)).
  Para una proyección conforme, se requiere que la elipse sea una circunferencia (a = b), lo que anula la deformación angular y elimina las direcciones principales privilegiadas.
• Deformación superficial:
  Relación entre el área de la elipse indicatriz y el círculo diferencial original:
  k₂ = dS' / dS = (π · a · b) / (π · ds²) = a · b.
  Si k₂ = 1 (es decir, a · b = 1 ⇒ a = 1 / b), la proyección es rigurosamente equivalente.
• Cálculo de los semiejes de la elipse indicatriz:
  A partir de las derivadas métricas espaciales, los semiejes a y b satisfacen las siguientes ecuaciones canónicas:
  • (a + b)² = [(g_φ / ρ) + (f_λ / r)]² + [(f_φ / ρ) - (g_λ / r)]²
  • (a - b)² = [(f_φ / ρ) + (g_λ / r)]² + [(g_φ / ρ) - (f_λ / r)]²