teoria del caos

¡Escribe tu texto aquí!Hay dos importantes tipos desistemas dinámicos: lasecuaciones diferencialesy lossistemas iterativos de funciones. Las ecuaciones diferenciales describen la evolución de un sistema a tiempo real y los mapas iterados evolucionan en problemas donde el tiempo es discreto. Ambos son útiles para dar ejemplos del caos y también para analizar soluciones periódicas o caóticas de las ecuaciones diferenciales.

Se dice que un sistema es no lineal cuando la potencia de las variables de ese sistema es diferente a uno, hay productos entre diferentes variables o funciones de las variables, por ejemplo:

{\displaystyle x_{1}^{2}}, {\displaystyle x_{1}\cdot \;x_{2}}, {\displaystyle \cos {x_{2}}}

La mayoría de sistemas no lineales son analíticamente irresolubles. En estos casos se puede lograr alguna solución haciendo una aproximación, pero se pierden soluciones físicas. La razón de que las ecuaciones lineales sean más fáciles de analizar es que los sistemas lineales se pueden separar en partes, resolver cada una de ellas y juntar las soluciones para obtener la solución final. El hecho es que muchas cosas en la naturaleza actúan de forma no lineal.

La importancia que tienen los sistemas en el caos es el siguiente: se dice que un sistema dinámico es no sensible cuando pequeños cambios en las condiciones iniciales del sistema no originan grandes cambios en el proceso y resultado final del mismo.

Divergencia exponencial de trayectorias cercanas[editar]

Los atractores exhiben una dependencia sensible de las condiciones iniciales. Esto significa que dos trayectorias que comienzan cerca una de la otra divergen, y cada una tendrá un futuro totalmente diferente de la otra. Haciendo estudios numéricos de los atractores extraños se puede encontrar la siguiente proporción:

{\displaystyle {\begin{matrix}\|\delta \|\approx \|\delta _{0}\|e^{\lambda t}\end{matrix}}}

donde {\displaystyle \delta (t)} es el vector que separa 2 trayectorias, {\displaystyle \delta _{0}} es la separación inicial y {\displaystyle \lambda } es el exponente Lyapunov. Cuando el sistema tiene un exponente de Lyapunov positivo ({\displaystyle \lambda >0}), se encuentra un tiempo de horizonte donde la predicción deja de ser válida. Si se toma {\displaystyle a} como el valor máximo de la distancia aceptable entre dos trayectorias (la predicción será intolerable cuando {\displaystyle \|\delta (t)\|\geq a}), entonces el tiempo de horizonte se define como

{\displaystyle t_{horizon}\approx {\frac {1}{\lambda }}\ln {\frac {a}{\|\delta _{0}\|}}}

Lo peor del tiempo de horizonte es que, por mucho que se minimice la separación inicial, no logrará ser mucho más grande. Esto es, aunque se logre una precisión muy buena, el incremento del tiempo de horizonte que se logra será insignificante comparado con la disminución de {\displaystyle \delta _{0}}. Por esto, Edward Lorenz dijo que era tan difícil predecir el tiempo. Este obstáculo de la predicción se conoce con el nombre efecto mariposa por una charla de Lorenz con el título "¿Puede el batir de las alas de una mariposa en Brasil dar lugar a un tornado en Texas?".

La sensibilidad a las condiciones es tan extremadamente exagerada que, aparte del provocativo título de la charla de Lorenz, se encuentran otras frases como,

Por perder un clavo, el caballo perdíó la herradura, el jinete perdíó al caballo, el jinete no combatíó, la batalla se perdíó, y con ella perdimos el reino.

Si se dibuja una gráfica con los ejes {\displaystyle \ln {||\delta ||}} y {\displaystyle t}, se observa que para un corto plazo de {\displaystyle t}, la función se mueve alrededor de una pendiente. El valor de esta pendiente equivale al exponente de Lyapunov. Como se observa en el ejemplo de abajo, después de un tiempo la función no continúa cerca de la pendiente. Esto es debido a que, como el atractor está acotado en un espacio del espacio de fases, la distancia no puede aumentar hasta el infinito.

Atractores[editar]

El comportamiento o movimiento en un sistema dinámico puede representarse sobre el espacio de fases. Los diagramas de fases no muestran una trayectoria bien definida, sino que ésta es errabunda alrededor de algún movimiento bien definido. Cuando esto sucede se dice que el sistema es atraído hacia un tipo de movimiento, es decir, que hay un atractor.

Al hablar de atractores no se hace referencia única y exclusivamente a los atractores caóticos, ya que antes de que apareciera el caos se conocían otros tipos de atractores. De acuerdo a la forma en que sus trayectorias evolucionen, los atractores pueden ser clasificados como:

• Atractor de punto fijo

  
  Corresponde al más simple, el sistema que tenga un atractor de punto fijo tenderá a estabilizarse en un único punto. Un ejemplo común es el péndulo, que tiende al punto en el que el ángulo es nulo respecto a la vertical, debido al rozamiento con el aire.
• 
  Atractor de ciclo límite o atractor periódico:
  Es el segundo tipo de atractor más sencillo. Este tipo de atractor tiende a mantenerse en un periodo igual para siempre. Como ejemplo, se puede tomar un péndulo alimentado para contrarrestar la fuerza de rozamiento, por lo que oscilaría de lado a lado.
• 
  

  Atractor caótico

  Aparece en sistemas no lineales que tienen una gran sensibilidad a las condiciones. Un famoso ejemplo de estos atractores es el atractor de Lorenz.

Estos nombres se relacionan exactamente con el tipo de movimiento que provocan en los sistemas. Un atractor periódico, por ejemplo, puede guiar el movimiento de un péndulo en oscilaciones periódicas; sin embargo, el péndulo seguirá trayectorias erráticas alrededor de estas oscilaciones debidas a otros factores menores no considerados.

Ejemplos de atractores[editar]

Se verá una introducción de estos distintos tipos de atractores con un modelo matemático muy usado para explicar el caos. Consiste en una varilla de acero con un extremo fijado a un soporte y el otro libre para oscilar entre dos imanes colocados simétricamente. El soporte de la varilla se halla sometido a una fuerza armónica {\displaystyle F=f\cos {\omega t}}, como se observa en la figura del modelo matemático.

Es fácilmente observable que cuando la varilla está en posición vertical, hay un punto de equilibrio inestable entre dos puntos de equilibrio estables situados simétricamente. El potencial de este sistema es

{\displaystyle {\begin{matrix}V(x)=-{\frac {1}{4}}x^{2}(2-x^{2})\end{matrix}}}

de modo que la ecuación de movimiento será,

{\displaystyle {\begin{matrix}{\ddot {x}}=-V'(x)=x-x^{3}\end{matrix}}}

Si ahora se agrega una fuerza de rozamiento del aire proporcional a la velocidad (-{\displaystyle \gamma {\dot {x}}}) y una fuerza externa armónica, se logra la ecuación de Duffing:

{\displaystyle {\begin{matrix}{\ddot {x}}+\gamma {\dot {x}}-x+x^{3}=f\cos {\omega t}\end{matrix}}}

A continuación se ve cómo el término no lineal {\displaystyle x^{3}} tiene consecuencias dinámicas asombrosas.

γ = 0, f = 0.	γ = 0.2, f = 0.

Suponiendo que inicialmente no se tiene fricción ({\displaystyle \gamma =0}) ni fuerza externa ({\displaystyle f=0}), el sistema es conservativo y se tendrá una integral primera que proporciona las trayectorias en el espacio de fases {\displaystyle (x,{\dot {x}})}:

{\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{2}}{\dot {x}}^{2}-{\frac {1}{4}}x^{2}(2-x^{2})=E\end{matrix}}}

En los mínimos de la energía potencial se observa que los puntos son estables mientras que el máximo corresponde a un punto de silla inestable. Las trayectorias de energía nula son órbitas homoclínicas que se hallan tanto en la variedad estable como en la inestable. Las demás trayectorias corresponden a oscilaciones periódicas cuyas órbitas encierran un solo punto estable ({\displaystyle E<0}) o ambos ({\displaystyle E>0}).

Si ahora se tiene en cuenta el rozamiento, se obtendrán oscilaciones amortiguadas, por lo que es lógico pensar que el sistema perderá energía monótonamente, mientras el tiempo transcurra. En consecuencia, las trayectorias tenderán a uno de los atractores de punto fijo.

Si ahora, además del rozamiento, se introduce una fuerza externa armónica que contrarresta a la fuerza de rozamiento, el sistema ya no tenderá al equilibrio. Al ser una fuerza armónica se encuentran soluciones periódicas (ciclos límite), pero nada que ver con los periodos de los que se habla cuando el sistema es conservativo ({\displaystyle \gamma =f=0}). En este caso los periodos son independientes de la energía por la fuerza de rozamiento y la armónica, así que los periodos dependen de la fuerza armónica externa.

Al aumentar la fuerza externa ({\displaystyle f=0.3}), las órbitas periódicas desaparecen y oscilan sin cesar sin ninguna regularidad. Además de la irregularidad del sistema, este exhibe una gran sensibilidad a las condiciones iniciales por lo que nos encontramos ante un atractor extraño (o caótico).

En conclusión, para que haya caos en dimensión finita se necesita que se cumplan los siguientes 3 puntos en un sistema:

1. El sistema debe ser no lineal.
2. El sistema debe tener mínimo 3 variables (puede ser por ejemplo de 2 variables y no autónomo).
3. El sistema debe tener dependencia sensible a las condiciones iniciales.

γ = 0.2, f = 0.3.	γ = 0.2, f = 0.23.

Cuando el modelo matemático tenía {\displaystyle f=0} era un sistema no lineal, pero al introducir {\displaystyle f=0.23} se logra la tercera variable, el tiempo. Aunque no tenía dependencia a las condiciones iniciales. Por eso se ha de remarcar que el caos implica que el sistema sea de 3 o más variables, pero 3 o más variables no implican que haya caos.

Una manera de visualizar el movimiento caótico, o cualquier tipo de movimiento, es hacer un diagrama de fases del movimiento. En tal diagrama el tiempo está implícito y cada eje representa una dimensión del estado. Por ejemplo, un sistema en reposo será dibujado como un punto, y un sistema en movimiento periódico será dibujado como un círculo.