Teoremas de Bolzano, Weierstrass, Rolle y Valor Medio de Lagrange: enunciados
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Resumen
El documento recoge los enunciados de cuatro teoremas fundamentales del cálculo sobre funciones continuas y derivables: Bolzano, Weierstrass, Rolle y el Valor Medio de Lagrange. Se explica qué condiciones deben cumplir las funciones en un intervalo cerrado y qué conclusión garantiza cada teorema. El texto aparece repetido tres veces, por lo que el contenido es breve y se limita a los enunciados.
Puntos clave
- Teorema de Bolzano: si f es continua en [a, b] y f(a) y f(b) tienen signos distintos, existe un c en (a, b) con f(c) = 0.
- Teorema de Weierstrass: si f es continua en [a, b], alcanza en ese intervalo un máximo y un mínimo absolutos.
- Si f es constante en [a, b], el máximo y el mínimo coinciden, y recíprocamente.
- Teorema de Rolle: si f es continua en [a, b], derivable en (a, b) y f(a) = f(b), existe un c en (a, b) con f'(c) = 0.
- Teorema del Valor Medio de Lagrange: si f es continua en [a, b] y derivable en (a, b), existe un c en (a, b) tal que f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a).
Teoremas fundamentales: Bolzano, Weierstrass, Rolle y Valor Medio de Lagrange
Repetición 1
Bolzano
Si una función f es continua en un intervalo cerrado [a, b] y el signo de f(a) es distinto del signo de f(b), entonces existe, al menos, un c perteneciente al intervalo abierto (a, b) de modo que f(c) = 0.
Weierstrass
Si f es una función continua en un intervalo cerrado [a, b], alcanza en este intervalo el máximo y el mínimo absolutos.
Intuitivamente, esto significa que la gráfica de la función debe tener un punto más alto o igual que los demás y otro más bajo o igual que los restantes.
Si una función es constante en el intervalo [a, b], el máximo y el mínimo coinciden. Recíprocamente, si el máximo y el mínimo coinciden, la función es constante.
Valor medio de Lagrange
Sea f una función continua en el intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b). Entonces existe, al menos, un punto c perteneciente al intervalo abierto (a, b) tal que f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a).
Rolle
Si una función f es continua en el intervalo cerrado [a, b], es derivable en el intervalo abierto (a, b) y f(a) = f(b); entonces existe, al menos, un punto c perteneciente al abierto (a, b) de modo que la derivada en él se anula, f'(c) = 0.
Repetición 2
Bolzano
Si una función f es continua en un intervalo cerrado [a, b] y el signo de f(a) es distinto del signo de f(b), entonces existe, al menos, un c perteneciente al intervalo abierto (a, b) de modo que f(c) = 0.
Weierstrass
Si f es una función continua en un intervalo cerrado [a, b], alcanza en este intervalo el máximo y el mínimo absolutos.
Intuitivamente, esto significa que la gráfica de la función debe tener un punto más alto o igual que los demás y otro más bajo o igual que los restantes.
Si una función es constante en el intervalo [a, b], el máximo y el mínimo coinciden. Recíprocamente, si el máximo y el mínimo coinciden, la función es constante.
Valor medio de Lagrange
Sea f una función continua en el intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b). Entonces existe, al menos, un punto c perteneciente al intervalo abierto (a, b) tal que f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a).
Rolle
Si una función f es continua en el intervalo cerrado [a, b], es derivable en el intervalo abierto (a, b) y f(a) = f(b); entonces existe, al menos, un punto c perteneciente al abierto (a, b) de modo que la derivada en él se anula, f'(c) = 0.
Repetición 3
Bolzano
Si una función f es continua en un intervalo cerrado [a, b] y el signo de f(a) es distinto del signo de f(b), entonces existe, al menos, un c perteneciente al intervalo abierto (a, b) de modo que f(c) = 0.
Weierstrass
Si f es una función continua en un intervalo cerrado [a, b], alcanza en este intervalo el máximo y el mínimo absolutos.
Intuitivamente, esto significa que la gráfica de la función debe tener un punto más alto o igual que los demás y otro más bajo o igual que los restantes.
Si una función es constante en el intervalo [a, b], el máximo y el mínimo coinciden. Recíprocamente, si el máximo y el mínimo coinciden, la función es constante.
Valor medio de Lagrange
Sea f una función continua en el intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b). Entonces existe, al menos, un punto c perteneciente al intervalo abierto (a, b) tal que f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a).
Rolle
Si una función f es continua en el intervalo cerrado [a, b], es derivable en el intervalo abierto (a, b) y f(a) = f(b); entonces existe, al menos, un punto c perteneciente al abierto (a, b) de modo que la derivada en él se anula, f'(c) = 0.
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PDF Word HTMLPreguntas frecuentes
¿Qué dice el teorema de Bolzano?
Si una función f es continua en un intervalo cerrado [a, b] y f(a) y f(b) tienen signos distintos, entonces existe al menos un c en el intervalo abierto (a, b) tal que f(c) = 0.
¿Qué condiciones necesita el teorema de Rolle?
La función debe ser continua en el intervalo cerrado [a, b], derivable en el intervalo abierto (a, b) y cumplir f(a) = f(b). Entonces existe un punto c donde la derivada se anula.
¿Qué afirma el teorema de Weierstrass?
Si f es continua en un intervalo cerrado [a, b], alcanza en ese intervalo sus valores máximo y mínimo absolutos.
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