Teoremas fundamentales de continuidad y derivación: Bolzano, Weierstrass, Rolle y Lagrange
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Teoremas fundamentales: Bolzano, Weierstrass, Rolle y Valor Medio de Lagrange
Repetición 1
Bolzano
Si una función f es continua en un intervalo cerrado [a, b] y el signo de f(a) es distinto del signo de f(b), entonces existe, al menos, un c perteneciente al intervalo abierto (a, b) de modo que f(c) = 0.
Weierstrass
Si f es una función continua en un intervalo cerrado [a, b], alcanza en este intervalo el máximo y el mínimo absolutos.
Intuitivamente, esto significa que la gráfica de la función debe tener un punto más alto o igual que los demás y otro más bajo o igual que los restantes.
Si una función es constante en el intervalo [a, b], el máximo y el mínimo coinciden. Recíprocamente, si el máximo y el mínimo coinciden, la función es constante.
Valor medio de Lagrange
Sea f una función continua en el intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b). Entonces existe, al menos, un punto c perteneciente al intervalo abierto (a, b) tal que f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a).
Rolle
Si una función f es continua en el intervalo cerrado [a, b], es derivable en el intervalo abierto (a, b) y f(a) = f(b); entonces existe, al menos, un punto c perteneciente al abierto (a, b) de modo que la derivada en él se anula, f'(c) = 0.
Repetición 2
Bolzano
Si una función f es continua en un intervalo cerrado [a, b] y el signo de f(a) es distinto del signo de f(b), entonces existe, al menos, un c perteneciente al intervalo abierto (a, b) de modo que f(c) = 0.
Weierstrass
Si f es una función continua en un intervalo cerrado [a, b], alcanza en este intervalo el máximo y el mínimo absolutos.
Intuitivamente, esto significa que la gráfica de la función debe tener un punto más alto o igual que los demás y otro más bajo o igual que los restantes.
Si una función es constante en el intervalo [a, b], el máximo y el mínimo coinciden. Recíprocamente, si el máximo y el mínimo coinciden, la función es constante.
Valor medio de Lagrange
Sea f una función continua en el intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b). Entonces existe, al menos, un punto c perteneciente al intervalo abierto (a, b) tal que f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a).
Rolle
Si una función f es continua en el intervalo cerrado [a, b], es derivable en el intervalo abierto (a, b) y f(a) = f(b); entonces existe, al menos, un punto c perteneciente al abierto (a, b) de modo que la derivada en él se anula, f'(c) = 0.
Repetición 3
Bolzano
Si una función f es continua en un intervalo cerrado [a, b] y el signo de f(a) es distinto del signo de f(b), entonces existe, al menos, un c perteneciente al intervalo abierto (a, b) de modo que f(c) = 0.
Weierstrass
Si f es una función continua en un intervalo cerrado [a, b], alcanza en este intervalo el máximo y el mínimo absolutos.
Intuitivamente, esto significa que la gráfica de la función debe tener un punto más alto o igual que los demás y otro más bajo o igual que los restantes.
Si una función es constante en el intervalo [a, b], el máximo y el mínimo coinciden. Recíprocamente, si el máximo y el mínimo coinciden, la función es constante.
Valor medio de Lagrange
Sea f una función continua en el intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b). Entonces existe, al menos, un punto c perteneciente al intervalo abierto (a, b) tal que f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a).
Rolle
Si una función f es continua en el intervalo cerrado [a, b], es derivable en el intervalo abierto (a, b) y f(a) = f(b); entonces existe, al menos, un punto c perteneciente al abierto (a, b) de modo que la derivada en él se anula, f'(c) = 0.