Teorema del Valor Medio de Cauchy: Definición y Demostración Matemática

Teorema del Valor Medio de Cauchy

Si f y g son dos funciones tales que:

• a) f y g son continuas en el intervalo cerrado [a, b].
• b) f y g son diferenciables en el intervalo abierto (a, b).
• c) Para toda x en el intervalo abierto (a, b), g'(x) ≠ 0.

Entonces, existe un número z en el intervalo abierto (a, b) tal que:

f(b) - f(a) / g(b) - g(a) = f'(z) / g'(z)

Demostración

Primero demostramos que g(b) ≠ g(a). La demostración la hacemos por el absurdo, es decir, suponemos que g(b) = g(a).

Como g cumple las dos condiciones de la hipótesis del Teorema del Valor Medio, existe algún número c en (a, b) tal que:

g'(c) = [g(b) - g(a)] / (b - a)

Como hemos supuesto que g(b) = g(a), entonces g(b) - g(a) = 0; por lo tanto, g'(c) = 0, lo que contradice la condición tres de la hipótesis, ya que g'(x) ≠ 0 en (a, b). Al tener una contradicción de la hipótesis, se deduce que la suposición no puede ser cierta; entonces g(b) ≠ g(a) y, consecuentemente, g(b) - g(a) ≠ 0.

Definición de la función auxiliar

Ahora consideramos la función h definida por:

h(x) = f(x) - f(a) - [f(b) - f(a) / g(b) - g(a)] * [g(x) - g(a)]

Vamos a demostrar que h cumple las condiciones de la hipótesis del Teorema de Rolle: las dos primeras condiciones se cumplen pues f(x) y g(x) son funciones continuas y diferenciables; por lo tanto, al ser h(x) restas de funciones continuas y diferenciables, es también una función continua y diferenciable.

Cálculo de h(a) y h(b)

Calculamos ahora h(a) y h(b):

• h(a) = f(a) - f(a) - [f(b) - f(a) / g(b) - g(a)] * [g(a) - g(a)] = 0
• h(b) = f(b) - f(a) - [f(b) - f(a) / g(b) - g(a)] * [g(b) - g(a)] = f(b) - f(a) - [f(b) - f(a)] = 0

Por lo tanto, se cumplen las tres condiciones de la hipótesis del Teorema de Rolle; por lo tanto, existe un número z en (a, b) tal que h'(z) = 0.

Derivación y conclusión

Como h'(x) es:

h'(x) = f'(x) - [f(b) - f(a) / g(b) - g(a)] * g'(x)

Reemplazando en esta derivada x por z, se tiene:

h'(z) = f'(z) - [f(b) - f(a) / g(b) - g(a)] * g'(z) = 0

Es decir:

f'(z) = [f(b) - f(a) / g(b) - g(a)] * g'(z)

O sea:

f'(z) / g'(z) = [f(b) - f(a)] / [g(b) - g(a)]

Que es lo que se quería demostrar.

El Teorema del Valor Medio es un caso particular del Teorema de Cauchy en el caso en que g(x) = x.