Teorema de Kelvin y fundamentos de flujos ideales, toberas y turbulencia

Teorema de Kelvin y corolario principal

Enunciado: Sea un flujo de un fluido no viscoso, barótropo, en donde las fuerzas de masa derivan de un potencial U, y sea C(t) una curva cerrada que se mueve con el fluido. Entonces, la circulación alrededor de C(t) no depende del tiempo. Como corolario del teorema de Kelvin, si el movimiento de un fluido ideal y barótropo en presencia de fuerzas de masa derivadas de un potencial es inicialmente irrotacional, permanecerá siempre irrotacional.

Condiciones de la ecuación de Bernoulli (v²/2 + w + U = H(t))

Condiciones necesarias para la validez local de Bernoulli:

• Flujo ideal (Re >> 1).
• Flujo barótropo (relación entre gradiente de presión y entalpía: ∇p/p = ∇w, en la forma dada).
• Flujo isentrópico (Re >> 1, Q_r = 0).
• Fuerzas de masa conservativas (f_m = −∇U).
• Flujo casi estacionario (St << 1).
• Campo inicialmente irrotacional, por tanto flujo irrotacional (∇ × v = 0).

Para tener h₀ = h + v²/2 = w + v²/2 = H se debe cumplir, en la práctica:

1. Flujo ideal (Re >> 1).
2. Fuerzas de masa despreciables (o conservativas incluidas en U).
3. Movimiento sin adición o eliminación de calor (Q = 0).
4. Movimiento casi estacionario.

Gasto crítico

Definición: Gasto másico de fluido que circula por la tobera en aquella sección (garganta o área mínima) en la cual se alcanzan condiciones sónicas, es decir, número de Mach M = 1.

Tobera bloqueada

Situación que se da cuando la variación de las magnitudes fluidas aguas abajo de la garganta no afecta al flujo aguas arriba de la misma, al ser sónica la velocidad en la garganta.

Tobera adaptada

Si el flujo es isentrópico en toda la tobera y p_a = p_s2, hablamos de tobera adaptada.

Propiedades de los flujos turbulentos

• Irregularidad y aleatoriedad.
• Difusividad (mezcla y transporte turbulento).
• Número de Reynolds grande.
• Tridimensionalidad y rotacionalidad.
• Disipación (transferencia de energía a escalas pequeñas).
• Medio continuo (a escala macroscópica).

Discontinuidades

Discontinuidad tangencial

Se mantienen constantes la presión y el componente de la velocidad normal; hay salto en la componente tangencial de la velocidad.

Discontinuidad normal

• Velocidad: disminuye.
• Presión: aumenta.
• Temperatura: aumenta.
• Presión de remanso: disminuye.
• Entalpía de remanso: se conserva.
• Densidad de remanso: disminuye.
• Temperatura de remanso: se conserva.

Proceso de carga/descarga isentrópico

Para que este proceso sea isentrópico, la energía cinética de la corriente de entrada debe ser muy pequeña en relación con su entalpía; por tanto, podemos despreciar ese efecto y el proceso de carga sería isentrópico. Para ello se requiere un número de Mach muy pequeño y Q = 0.

Resistencia de forma

También llamada resistencia de presión; depende de la forma del cuerpo. Por ejemplo, para un cuerpo fuselado la resistencia de forma es muy pequeña, al contrario que para cuerpos romos.

Ábaco de Moody

Relaciona la rugosidad relativa del tubo ε/D, el factor de fricción λ y el número de Reynolds.

Flujo isentrópico

Aquellos flujos en los cuales hay ausencia de intercambio de calor (Q_r = 0).

Resistencia de fricción

Resistencia asociada a la condición de no deslizamiento entre el fluido y la pared sólida. Dicha resistencia se calcula resolviendo la capa límite viscosa adyacente a la superficie del cuerpo.

Escala de Kolmogorov

Escala de los torbellinos más pequeños donde se disipa la energía, tal que el número de Reynolds asociado a ellos es del orden de la unidad.

Fórmulas características:

• Longitud de Kolmogorov: l = (v^3 / ε)^1/4
• Tiempo de Kolmogorov: τ = (v / ε)^1/2
• Velocidad característica: u∼(v ε)^1/4

Ecución de la entropía

Para diferentes condiciones:

• a) Re >> 1: ρT (Ds/Dt) = Q_r.
• b) Re >> 1 y Q_r = 0: Ds/Dt = 0.
• c) Re >> 1, Q_r = 0 y casi estacionario: s = s₀(t).

Desprendimiento de la capa límite

Si hay desprendimiento de capa límite, éste se producirá en un punto donde ∂u/∂y (condición inicial y = 0) tenga que ser igual a 0; es decir, el esfuerzo de fricción debe ser nulo en ese punto.

Pared hidráulicamente lisa

Perfil de velocidad: u⁺ ≡ U / u* = f( y u* / ν , ε u* / ν ) ≡ f(η⁺, ε⁺). Para considerarse hidráulicamente lisa se debe cumplir ε⁺ << 1.