Talkak: Bi partikula elkarri hurbiltzen direnean

TALKAK: Bi partikula elkarri hurbiltzen direnean, talka izan dezakete, bai kontaktu fisikoaz zein kontaktu fisikorik izan gabe Ere, haien artean urrutiko indarrak baldin badaude, baina talka guztietan (kontaktudunetan zein kontaktugabeetan), momentu eta energia-
Trukaketa Gertatzen da, alegia, bi partikulen higidurak aldatu egiten dira bestearen Eraginez. Kanpo indar erresultantea nuloa bada (F^kanª=0ª), alegia, barne Indarra bakarrik baldin badago, orduan, aren momentu lineal totala kontserbatu Egiten da. Printzipioz talkaren iraupena oso laburra da, eta kanpo indarrek, Egon arren, ez dute is astirik tarte labur horretan sistemaren momentu lineala Aldatzeko. Kasu horietan, sistema isolatutzat har daiteke: F^kanª=0ª; Pª=kte, Baina soilik talka gertatu den bitartean, alegia, unetxo bat lehenago eta Unetxo bat geroago. Adieraz ditzagun primarekin talkaren ondorengo momentu Linealak eta primarik gabe talkaren aurreko momentu linealak: P1ª+p2ª=p1’ª+p2’ª. Bestalde, energia zinetikoari dagokionez, kanpo indarrik ez Badago, kanpo-indarren lana nulua izango da: W^kan=0, eta energiaren teorema (W^kan+W^bar=(delta)Ez) honela sinplifikatzen da: W^bar=(delta)Ez. Talkaren Ondoren eta talka baino lehen, sistemaren energia zinetikoa berdina bada, Talkari elastiko deritzo, alegia, barne-indarraren lan totala nulua da. Aldiz Sistemaren energia zinetikoa talkaren eraginez aldatzen bada, talkari inelastiko Deritzo. Bereziki, partikula biak itsatsita geratzen direnean talkaren Eraginez, talkari erabat inelastiko edo talka plastiko deritzo. Talkan Gertatzen den energia-aldaketa (barne-indarren lana) normalean, Q faktore batez Adierazi ohi da: Q=(delta)Ez=Ez’-Ez=1/2m1v1’^2+1/2m2v2’^2-1/2m1v1^2-1/2m2v2^2 (talka elastikoa: Q=0; talka inelastikoa: Q(des=0)). Talka plastikoaren kasuan, Ezagunak baldin badira talka baino lehenagoko abiadurak eta masak, orduan p1ª+p2ª=p1’ª+p2’ª Ekuazioarekin nahikoa da talkaren ondorengo abiadurak kalkulatzeko, biek Abiadura bera dutelako. Gainontzeko kasuetan, energia-galerari buruzko Informazioa behar da, alegia Q=(delta)Ez=Ez’-Ez=1/2m1v1’^2+1/2m2v2’^2-1/2m1v1^2-1/2m2v2^2 Ekuazioa. Bereziki, talka elastikoetan Q=0. Bada beste kasu berezi bat, Dimentsio bakarreko talketan edo aurrez-aurreko talkak. Ezagunak baldin badira Talka baino lehenagoko abiadurak eta masak, eta Q faktorea, orduan aurreko Ekuazioekin talkaren ondorengo abiadurak kalkula daitezke, modu unibokoan. Alegia, X ardatza artzen badugu talka gertatzen den norabide berean, orduan Aurreko ekuazioak honela sinplifikatzen dira: m1v1x+m2v2x=m1v’1x+m2v’2x. Q=(delta)Ez=Ez’-Ez=1/2m1v1x’^2+1/2m2v2x’^2-1/2m1v1x^2-1/2m2v2x^2. Bi ekuazio horiek bi ezezaguneko sistema bat osatzen dute, (v1x’, v2x’). Baina Azken ekuazio hori koadratikoa da eta kalkuluak konplikatzen ditu. Ekuazio Horren ordez, beste ekuazio bat erabil daiteke, lineala, eta newtonek Esperimentalki lortutakoa: (v2x’-v1x’)=e(v2x-v1x). Ekuazio horrek adierazten Du, talka egiten duten bi partikulen abiadura erlatiboa proportzionala dela (talka baino lehen eta ondoren),eta Proportzionaltasun konstanteari, e-ri, itzultze-koefiziente deritzo. Orokorrean, 0(<=)e(<=)1. Talka erabat elastikoa bada e=1, eta inelastikoa Bada e(des=)1. Erabat inelastikoa bada, edo plastikoa e=0. Horrela, M1v1x+m2v2x=m1v’1x+m2v’2x eta (v2x’-v1x’)=e(v2x-v1x) ekuazioek bi ezezaguneko Sistema osatzen dute eta biak linealak dira, alegia, m1v1x+m2v2x=m1v’1x+m2v’2x Eta Q=(delta)Ez=Ez’-Ez=1/2m1v1x’^2+1/2m2v2x’^2-1/2m1v1x^2-1/2m2v2x^2 ekuazio Bikotea baino errazago ebatz daiteke, baina e itzultze koefizientea ezaguna Izan behar da.///PARTIKULA-SISTEMA BATEN MASA-ZENTROAREN KONTZEPTUA. MASA-ZENTROAREN HIGIDURA: Partikula-sistema baten masa-zentroa definitzen du, Batez beste, sistema osoaren masa non dagoen kokatuta. Analitikoki, Masa-zentroaren posizioa (MZ) honela definitzen da: Rª=(N)(k=1)€mk·rkª/M. Hemen, mk da, k-garren partikularen masa, rkª bere posizio-bektorea, N Sistemaren partikula-kopurua eta M sistemaren masa osoa, alegia: M=(N)(k=1)€mk. Sistemaren masa-banaketa, diskretua izan beharrean jarraitua bada, batukarien ordez, Integralen bidez adierazten da: Rª=$rª·dm/M eta M=$dm. Masa-zentroak batez Besteko posizio bat adierazten du eta beraz, bertan ez du zertan masarik egon*. Oro har, partikulen posizioak aldakorrak izan daitezke, eta beraz, MZa ere Mugitu egingo da. Hortaz, MZaren posizioa denboraren menpekoa izango da: Rª(t). Azter dezagun nola mugitzen den masa-zentroa. Hasteko, idatz dezagun, lehenik, Sistemaren momentu lineala: Pª=(k=1)(N)€pkª=(k=1)(N)€mkvkª=(k=1)(N)€mkdrkª/dt=d/dt((k=1)(N)€mkrkª)=d/dt(MRª)=MdRª/dt=MVª. Hemen, Vª=dRª/dt da, MZaren abiadura, eta suposatu da partikularen masak eta Sistemaren masa totala, M, ez direla aldatzen. Lortutako adierazpenaren Arabera, sistemaren momentu lineal totala kalkula daiteke bi modutan: batetik, Partikula guztien momentu linealak bektorialki gehituz, eta, bestetik, Sistemaren M masa totala MZaren abiaduraz bidertuz. Momentu linealaren teorema (10) beste modu batean berridatz daiteke: F^kanª=dPª/dt=MdVª/dt=MAª. Hemen Aª=dVª/dt=d^2Rª/dt^2 MZaren azelerazioa da. Azken ekuazio diferentzial horrek, F^kanª=dPª/dt=MdVª/dt=MAª, formalki Newtonen bigarren legearen itxura du, baina Sistemaren M masa osoa daukan partikula batentzat eta kanpo-indar Erresultantearen eraginpean dagoena (barne-indarrek ez diote eragiten). Beraz, Partikula sistema baten masa-zentroa mugitzen da, partikula soil bat balitz Bezala: bere masa, sistemaren masa totala da (M) eta kanpo-indar Erresultantearen eraginpean dago (masa-zentroaren teorema). Beraz, Masa-zentroaren posizioa eta abiadura ezagututa, hasierako aldiune batean, (Rª(to), Vª(to)), eta kanpo-indar erresultantea ezagututa, F^kanª=dPª/dt=MdVª/dt=MAª ekuazioa integra daiteke, partikula bakarraren kasuan Bezalaxe eta Rª(t) funtzioa kalkulatu, alegia, MZaren posizioa edozein Aldiunetan. Esaterako, translazio hutsez mugitzen ari den solido zurrun baten Kasuan (errotaziorik gabe) solidoko puntu guztiak berdin-berdin mugitzen dira, Beraz, MZaren abiadura eta azelerazioa edozein punturenak bezalakoxeak izango Dira. Hortaz, MZaren higidura kalkulatuz gero, solidoko edozein punturen Higidura ezagutuko dugu. Horrelako kasu batean, partikula-sistemaren higidura, Formalki, partikula bakar baten higiduraren antzekoa izango da.///SOLIDO ZURRUNAREN DINAMIKA ARDATZ FINKOBATEN INGURUAN. INERTZIA MOMENTUA.: Demagun solido batek biraketa-higidura Daukala eta biraketa hori solidoko bi puntu finkotatik pasatzen den ardatz Baten inguruan gertatzen dela. Har dezagun Z ardatza ardatz finkoarekin bat Datorren erreferentzia-sistema proppio bat; beraz, O jatorria ardatz finkoan Egongo da. * sistema horretatik dm masako elementu infinitesimal arbitrarioa Behaatzen dugu: beraren posizio-bektorea rª da eta Z ardatzaren inguruan p=|rª|cos(fi) Erradioko zirkunferentzia deskribatuko de. Elementu horren abiadura Zirkunferentziarekiko tangenteaa izango da eta beraren modulua v=wp, non w Solidoaren abiadura angeluarra den. Beraz, biraketako abiadura angeluarraa Solidoko puntu guztietan berdina izango den arren, dm elementu bakoitzaren Abiadura, biraketa-ardatzera daukan distantziaren menpekoa izango da. Partikula Baten momentu angeluarraren definizioaren arabera, dm elementuaren O puntuarekiko Momentu angeluarra honelaxe idatz daiteke: dLoª=rªxvªdm horretan, rª eta vª Elkarren perpendikularrak direla kontuan hartuz, momentu angeluarraren modulua DLo=rvdm da. Baina dLoª bektorearen norabidea aukeratutako dm elementuaren Araberakoa denez, ezin dugu momentu angeluarrraren izaera bektoriala ahaztu. Momentu Angeluarraren osagai bat aztertukodugu; biraketa-ardatzaren norabideko osagaia (z osagaia) hain zuzen: dLoz=rvdmsin(fi) non (fi) delakoa, rª etawª bektoreek Osatzen duten angelua den. Dakiigunez, p=rsin(fi) eta beraz: dLoz=wpˆ2dm. Solidoaren Partikula guztien dLoz batuz (integratuz), solido zurrunaren momentu angeluar Totalaren z osagaia lortuko dugu: Loz=(M)$dLoz=(M)$wpˆ2dm=w(M)$pˆ2dm horretan, M integrazio limiteak integrala solido zurrunaren masa osora zabaltzen dela Esan nahi du. Bestetik, Loz osagaiak ez du jatorritzat hartu den Z ardatzean Kokatutako OZ puntuaren menpekotasunik; ondorioz, hemendik aurrera O letra Azpiindizetik ken dezakegu Lz=Izw bertan biraketa-ardatzarekiko solidoaren Inertzia-momentua, Iz, honela definitu dugu: Iz=M$pˆ2dm. Partikula-sistema Baten momentu angelluarraren teoremak partikula-sistema baten momentu angeluar Totala (erreferentzia-sistema inertzial baten jatorriarekiko) eta jatorri Berdinarekiko kanpo-indarren momentua erlazionatzen ditu. Moª=dLoª/dt. Adierazpena Erraztearren “kan” azpiindizea kendu dugu. Beraz, aurreko ekuazioaren Biraketa-ardaatzaren norabideko osagaiak hauxe da: Mz=dLz/dt hemen Lz=Izw Ekuazioa ordezkatuz eta ardatz finko baten inguruan errotatzen duen solido Batentzat Iz denboran aldaezina dela kontuan hartuz, biraketa-ardatzeko norabideko Osagaiaren kasurako momentu angeluarraren teorema era honetan idatz daiteke: Mz=Iz(alfa). (alfa) delakoa solidoaren biraketako azelerazio angeluarra izanik. Solido baten gainean eragiten duten indar guztien momentu erresultanteak Ardatzaren norabidean osagairik ez duenean, Izw biderkadura konstante Mantentzen da denboran zehar: Mz=0 d(Izw)/dt=0; Izw=kte. Emaitza hori Baliagarria da ere solido ez zurrunetarako (geometria aldakorreko solidoak), Zeinetan inertzia-momentua aldakorra den. Momentu erresultantea nulua bada, Iz-ren aldaketak w-n ere aldaketak sortzen ditu, biderkadura konstante Mantenduz. Oro har, biraketa-ardatzarekiko perpendikularrak diren osagaiek Lx Eta Ly ez dute zertan nuluak izan behar eta momentu angeluarra horrela adieraz Daiteke:Lª=Lx^i+Ly^j+Lz^k horrek esan nahi du, momentu angeluarraren norabideak Eta biraketa-ardatzaren norabideak (wª) ez dutela zertan paraleloak izan Behar.* Abiadura angeluarra eta momentu angeluarra elkarren paralelo ez izateak Ondorio garrantzitsuak ditu: biraketa-ardatza finko mantentzeen denean, momentu Angeluar bektoreak bere norabidea aldatzen du biraketarekin batera; beraz, Lx Eta Ly-ren deribatuak ez dira nuluak izango. Horrek adierazten du, ardatzaren Norabidea finko mantentzeko, solidoari nulua ez den indar-momentu bat egin Behar zaiola. Solidoaren higiduraren propietate hori oso garrantzitsua da Motorrak orekatzeko. Hordea, kanpo-indarrik ez badago, eta beraz, ezta Indar-momenturik ere, momentu angeluarraren teoremak momentu angeluarra Denboran zehar konstantea izango dela adierazten digu (bai moduluan, bai Norabidean). Kasu horretan, norabidea aldatuko duena biraketa-ardatza izango Da./// SOLIDO ZURRUNAREN BIRAKETAKO ENERGIA ZINETIKOA ARDATZ FINKO BATEN INGURUAN. ENERGIAREN TEOREMA: Har dezagun Wª abiadura angeluarraz Z ardatz finkoaren inguruan biraka dabilen irudiko Solido zurruna.. Biraketa-ardatzetik p distantziara kokatutako dm masako Elementuaren abiadura v=wp da. Eta beraz, dm elementu horren energia zinetikoa: DEz=vˆ”dm/2=wˆ2pˆ2dm/2. Solidoaren energia zinetiko totala, solidoa osatzen Duten dm elementu guztientzat aurreko ekuazioa batuz edo integratuz lortuko da: Ez=M$dEz=1/2M$wˆ2pˆ2dm=1/2wˆ2M$pˆ2dm. Eraztuna: I=MRˆ2, Zilindro (L(desberdin)0)edo Diskoa (L=0):I=MRˆ2/2, I=MRˆ2/4+MLˆ2/12, Hegatxo mehea I=MLˆ2/12, Esfera: I=2MRˆ2/5, Paralelepipedoa: I=M(aˆ2+bˆ2)/12 non wª abiadura angelurra Solidoaren puntu guztietan balio berekoa den. Biraketa-ardatzarekiko Inertzia.Momentuaren definizioa kontuan hartuz, hau idatzi dezakegu:Ez=Izwˆ2/2 Ekuazio hori ardatz finko baten inguruan biratzen ari den solido zurrun baten Energia zinetikoaren adierazpena da. Bestalde, solido zurrun baten gainean Eragiten duten indarren lan diferentziala ohiko eran kalkula daiteke, hots, Indar bakoitzaren eta indarraren aplikazio-puntuak jaso duen desplazamendu Infinitesimalaren arteko biderkadura eskalarra eginez. Ardatz finko baten Infuruko biraketa-higidura deskribatzen duen solido zurrunaren kasuan, lan hori Indarraren momentua eta solidoak biratu duen angelua erabiliz adieraz daiteke. Berriro ere irudiko solidoa erabiliko dugu. Demagun kanpo indar bat solido Horren puntu batean aplikatzen dela eta Ft indar horren osagai bat dela (aplikazio puntuak jarraitzen duen p erradiodun ibilbide zirkularraren Tangentea). Indarren aplikazio-puntuak d(fi) biraketa jasaten du dt denboran Zehar; beraz, higituko den distantzia pd(fi) izango da. Ondorioz, indarrak dt Denbora tartean egingo duen lan diferentziala hauxe izango da: DWkan=Ftdl=Ftpd(fi)=Mzd(fi). Ekuazio hori lortzeko, Mz=Ftp adierazpena erabili Dugu, hau da, biraketa-ardatzaren edozein punturekiko indar-moentua. Bestetik, Aurreko ekuazioaren bi aldeak dt-z zatitzen baditugu, kanpo-indar horrek Garatutako potentziaren adierazpena lortuko dugu P=Mzw. Bestalde, energiaren Teoremaren arabera partikula-sistema baten gaineko kanpo-eta barne indarrak Egindako lan totala eta energia zinetiko totala jasandako aldaketa berdinak Dira. Era diferentzialean horrela idatz dezakegu: dWkan+dWbar=dEz. Bereziki, Ardatz finko baten inguruko biraketa deskribatzen duen solido baten kasuan, Mz=Iz(alfa) ekuazioaren bi osagaiak d(fi)-z biderkatzen baditugu Ez=Izwˆ2/2 Ekuazioia kontuan hartuz hau lortzen dugu: Mzd(fi)=Iz(alfa)d(fi)=Izdwwdt/dt=Izd(wˆ2/2)=d(Izwˆ2/2)=dEz ondorioz, dWkan=dEz Beraz, ardatz finko baten inguruko biraketa deskribatzen duen solido baten Kasuan, barne-indarrek egindako lana zero da. Sarreran aipatu dugun moduan, Baieztapen hori solido zurrunaren edozein higidurarako betetzen da. Kanpo Indarren bat kontserbakorra bada, indar horrek egiten duen lana honela kalkula Daiteke: solidoak jasan duen energiaren potentzialaren aldaketa kalkulatu eta Ikurra aldatu. Grabitate-indarra kanpo indar kontserbakorraren adibide Garrantsitsu bat da. Lurrazaletik gertu dagoen solido zurrun baten energia Potentzial grabitatorioa solido horren dm masako elementu guztien energia Potentzialen batura da. Energia potentzialaren jatorria OXY (z=0)planoan Aukeratzen badugu, dm elementuaren energia potentzial grabitatorioa gzdm izango Da. Energia potentzial totala dm elementu guztien energia potentzialak Integratuz (batuz) lortuko dugu: Ep=M$gzdm=gM$zdm=dMzmz. *Adierazpen hori Lortzeko partikula-sistema baten MZaren definizioa erabiliko dugu: Zmz=1/MM$zdm. Hortaz, solido zurrun baten energiia potentziala, bere MZaren Altueraren menpekotasuna izango du soilik: Ep=Mghmz. Ildo beretik, solido Zurrun baten pisua bere bolumen osoan banatuta dago. Baina, pisuek edozein Punturekiko duten momentua eta pisu osoak MZan aplikatzean lortzen den momentua Berdinak dira. Azkenik, garrantzitzua da aztertzea translazioarekin eta Birarekin lortutako magnitudeen arteko baliokidetasunak. Zentzu horretan Hurrengo baliokidetasunak oso erabilgarriak izan daitezke: I-M, (fi)-x, wª-vª, (alfa)ª-aª. Baliokidetasun horiek erabiliz hurrengo konparaketa egin dezkegu: Puntu Materialen higidura(Translazioa): momentu lineala, pª=mvª, Energia zinetikoa, Ez=mvˆ2/2, Lana, dW=Fdx, Newtonen2. Legea, Fª=maª edo Fªdpª/dt.//Simetria-ardatz finko baten inguruko solido zurrunaren higidura(errotazioa): Ardatzarekiko momentu angeluarra, L=Iw, Biraketako energia zinetikoa, Ez=Iwˆ2/2, lana, dW=Md(fi), biraketa-higiduraren oinarrizko ekuazioa, M=I(alfa) Edo Mª=dLª/dt. Taula hori oso erabilgarria izan daiteke bai translazio-dinamika Bai biraketa-dinamika daukaten problemak ebazteko.