Solido Zurrunaren Biraketako Energiaren Teorema

SOLIDO ZURRUNAREN BIRAKETAKO ENERGIA ZINETIKOA ARDATZ FINKO BATEN INGURUAN. ENERGIAREN TEOREMA: Har dezagun wª abiadura angeluarraz Z ardatz finkoaren inguruan biraka Dabilen irudiko solido zurruna.
.

Biraketa

Ardatzetik p distantziara kokatutako Dm masako elementuaren abiadura v=wp da. Eta beraz, dm elementu horren energia Zinetikoa: dEz=vˆ”dm/2=wˆ2pˆ2dm/2. Solidoaren energia zinetiko totala, solidoa Osatzen duten dm elementu guztientzat aurreko ekuazioa batuz edo integratuz Lortuko da: Ez=M$dEz=1/2M$wˆ2pˆ2dm=1/2wˆ2M$pˆ2dm. Eraztuna: I=MRˆ2, Zilindro (L(desberdin)0)edo Diskoa (L=0):I=MRˆ2/2, I=MRˆ2/4+MLˆ2/12, Hegatxo mehea I=MLˆ2/12, Esfera: I=2MRˆ2/5, Paralelepipedoa: I=M(aˆ2+bˆ2)/12 non wª abiadura angelurra Solidoaren puntu guztietan balio berekoa den.
Biraketa-ardatzarekiko Inertzia.Momentuaren definizioa kontuan hartuz, hau idatzi dezakegu:Ez=Izwˆ2/2 Ekuazio hori ardatz finko baten inguruan biratzen ari den solido zurrun baten Energia zinetikoaren adierazpena da. Bestalde, solido zurrun baten gainean Eragiten duten indarren lan diferentziala ohiko eran kalkula daiteke, hots, indar bakoitzaren eta indarraren aplikazio-puntuak jaso duen desplazamendu Infinitesimalaren arteko biderkadura eskalarra eginez. Ardatz finko baten Infuruko biraketa-higidura deskribatzen duen solido zurrunaren kasuan, lan hori Indarraren momentua eta solidoak biratu duen angelua erabiliz adieraz daiteke. Berriro ere irudiko solidoa erabiliko dugu. Demagun kanpo indar bat solido Horren puntu batean aplikatzen dela eta Ft indar horren osagai bat dela (aplikazio puntuak jarraitzen duen p erradiodun ibilbide zirkularraren Tangentea). Indarren aplikazio-puntuak d(fi) biraketa jasaten du dt denboran Zehar; beraz, higituko den distantzia pd(fi)
izango da. Ondorioz, indarrak dt Denbora tartean egingo duen lan diferentziala hauxe izango da: DWkan=Ftdl=Ftpd(fi)=Mzd(fi). Ekuazio hori lortzeko, Mz=Ftp adierazpena erabili Dugu, hau da, biraketa-ardatzaren edozein punturekiko indar-moentua. Bestetik, Aurreko ekuazioaren bi aldeak dt-z zatitzen baditugu, kanpo-indar horrek Garatutako potentziaren adierazpena lortuko dugu P=Mzw. Bestalde, energiaren Teoremaren arabera partikula-sistema baten gaineko kanpo-eta barne indarrak Egindako lan totala eta energia zinetiko totala jasandako aldaketa berdinak Dira. Era diferentzialean horrela idatz dezakegu: dWkan+dWbar=dEz. Bereziki, Ardatz finko baten inguruko biraketa deskribatzen duen solido baten kasuan, Mz=Iz(alfa) ekuazioaren bi osagaiak d(fi)-z biderkatzen baditugu Ez=Izwˆ2/2 Ekuazioia kontuan hartuz hau lortzen dugu: Mzd(fi)=Iz(alfa)d(fi)=Izdwwdt/dt=Izd(wˆ2/2)=d(Izwˆ2/2)=dEz ondorioz, dWkan=dEz Beraz, ardatz finko baten inguruko biraketa deskribatzen duen solido baten Kasuan, barne-indarrek egindako lana zero da. Sarreran aipatu dugun moduan, Baieztapen hori solido zurrunaren edozein higidurarako betetzen da. Kanpo Indarren bat kontserbakorra bada, indar horrek egiten duen lana honela kalkula Daiteke: solidoak jasan duen energiaren potentzialaren aldaketa kalkulatu eta Ikurra aldatu. Grabitate-indarra kanpo indar kontserbakorraren adibide Garrantsitsu bat da. Lurrazaletik gertu dagoen solido zurrun baten energia Potentzial grabitatorioa solido horren dm masako elementu guztien energia Potentzialen batura da. Energia potentzialaren jatorria OXY (z=0)planoan Aukeratzen badugu, dm elementuaren energia potentzial grabitatorioa gzdm izango Da. Energia potentzial totala dm elementu guztien energia potentzialak Integratuz (batuz) lortuko dugu: Ep=M$gzdm=gM$zdm=dMzmz. *Adierazpen hori Lortzeko partikula-sistema baten MZaren definizioa erabiliko dugu: Zmz=1/MM$zdm. Hortaz, solido zurrun baten energiia potentziala, bere MZaren Altueraren menpekotasuna izango du soilik: Ep=Mghmz. Ildo beretik, solido Zurrun baten pisua bere bolumen osoan banatuta dago. Baina, pisuek edozein Punturekiko duten momentua eta pisu osoak MZan aplikatzean lortzen den momentua Berdinak dira. Azkenik, garrantzitzua da aztertzea translazioarekin eta Birarekin lortutako magnitudeen arteko baliokidetasunak. Zentzu horretan Hurrengo baliokidetasunak oso erabilgarriak izan daitezke: I-M, (fi)-x, wª-vª, (alfa)ª-aª. Baliokidetasun horiek erabiliz hurrengo konparaketa egin dezkegu: Puntu Materialen higidura(Translazioa): momentu lineala, pª=mvª, Energia zinetikoa, Ez=mvˆ2/2, Lana, dW=Fdx, Newtonen2. Legea, Fª=maª edo Fªdpª/dt.//Simetria-ardatz finko baten inguruko solido zurrunaren higidura(errotazioa): Ardatzarekiko momentu angeluarra, L=Iw, Biraketako energia zinetikoa, Ez=Iwˆ2/2, lana, dW=Md(fi), biraketa-higiduraren oinarrizko ekuazioa, M=I(alfa) Edo Mª=dLª/dt. Taula hori oso erabilgarria izan daiteke bai translazio-dinamika Bai biraketa-dinamika daukaten problemak ebazteko./// FLUIDOEN ESTATIKAREN OINARRIZKO EKUAZIOAREN APLIKAZIOAK: Merkuriozko barometroa: Presio atmosferikoa neurtzen Duten aparatuei barometro deitzen zaie, eta presio atmosferikoa existitzen dela Frogatu zuen lehen esperimentua, 1643 urtean, E.Torricellik burutu zuen. Hodi Luze batean merkurioa sartu eta buruz behera kokatu zuen beste ontzi baten Gainean. Azzpiko ontziak ere merkurioa zeukan. Hodiko merkurioa ez da husten, Pixka bat baino ez da jaisten, irudian ikusten den bezala. * hodiaren goiko Aldean hutsune bat sortzen da, eta presio nulua duela kontsidera daiteke (P=0). Altuera bera duten bi puntuk, 1 eta 2, presio bera izan behar dute (P1=P2). Beraz, hodiaren barruko fluidoak antzematen duen h altuera presio atmosferikoa Berdintzen duen hura izango da. Pgh=Patm. Merkurioaren kasuan, dentsitatea P=13,6gr/cmˆ3, eta beraz h=Patm/pg=1,013·10ˆ5/13600·9,8=0,7600m=760,0mm. (hodi Bertikala 76cm baino motzagoa bada, merkurioa ez da batere jaitsiko eta ez da Hutsunerik sortuko goiko muturrean). Merkurioa oso elementu toxikoa den arren, Asko erabili izan da barometroetan, oso dentsitate altua duelako eta, izan ere, Badago presio-unitate bat horrela deitzen denaa: merkurio milimetroak, mmHg. Unitate hori erabiltzen da, esaterako, odol-presioa (edo tentsioa) adierazteko. Hainbat aparatuk presioa neurtzen dute baina presio atmosferikoa erreferentzia Gisaa hartuta, alegia, neurketak ematen duen balioari presio atmosferikoa Gehitu behar zaio. Horrelako aparatuei manometro deritze eta manometro batekin Lortutako emaitzari presio manometriko. Beraz, Pm presio manometriko batek Adierazten du, Pm+Patm presio absolutua. Aipatu dugun atmosfera-unitateaz gain (atmosfera fisikoa=1,013x10ˆ5Pascal) beste atmosfera unitate bat ere definitu Ohi da: atmosfera teknikoa, edo 1kgf/cmˆ2=1kp/cmˆ2=9,8N/cmˆ2=9,8x10ˆ4 Pascal. Hortaz, atmosfera fisiko batek balio du 1,013/0,98=1,034 atmosfera Tekniko./Ontzi komunikatuak: irudian erakusten den ontzi multsoan, ontsien Formak eta sekzioak edozein izanda ere, denek fluido bera baldin badaaukate eta Denek goiko aldetik irekita baldin badaude, ontzi guztietan altuera bera Atzemango du fluidoak, haien hondoan presioak berdinak izan behar direlako. Pa=Pb=Pc=Pd=Pe=Patm+pgh ha=hb=hc=hd=he=h*. Emaitza horri paradoxa hidrostatiko Deritzo, adibidez, itxura eman lezake B ontsiaren hondoan presioa handiagoa Izan beharko litzatekeela, eta C ontzian, ordea, txikiagoa./Arkimedesen Printzipioa: orekan dagoen fluido batean, har dezagun edozein formako elemetu Bat. Dei diezaiogun V bolumenari, eta S inguruko gainazalari. Elementu horrek Jasaten dituen indar guztien erresultantea nulua izan behar da, hau da, S Gainazalak mugatutako fluidoaren pisua (P) eta inguruko fluidoak eragiten dion Presio-indar netoa (B) berdinak eta aurkakoak izan behar dira B=P*. Orain Fluido-elementu hori ordezkatzen badugu, Sforma berdin-berdina daukan beste Solido batez, inguruko fluidoak egindako presio-indar erresultantea berbera Izango da (B). Indar erresultante horri flotazio-bultzada deritzo edo Arkimedesen bultzada, eta arkimedesen printzipioa honela adierazi dezakegu: Fluido batean murgilduta dagoen edozein gorputzek goranzko bultzada jasaten du; Bultzada hori eta deslekuratu duen fluidoaren pisua berdinak dira. Murgildutako Gorputzaren pisuaren arabera (P´), gerta daiteke:1- P´(handiago)B; gorputza Hondoratu egiten da. Baina P=pVg eta P´=p´Vg. Baldintza horrek esan nahi du: P´(handiago)p. 2- P´=B(p´=p); gorputzak flotatu egiten du, erabat murgilduta Eta oreka indiferentean. 3-P´(txikiago)B (p´(txikiago)p); gorputzak Gainazaalera igotzen da eta zati bat fluidotik ateratzen du. Egoera horretan, Bultzada berriak (B´) gorputzaren pisua konpentsatzen du./ Flotazioa: gorputz Batek flotatu egiten badu, bolumeen zati bat baino ez zaio murgilduta geratzen (V´), eta murgildutako zati horren bultzadaa (B´) gorputz osoaren pisuari eutsi Behar dio: P=B´*. P´Vg=pV´g hau da, V´=p´V/p. Oreka- baaldintzak bi atal ditu; Batetik, indar erresultantea nulua izan behar da, baina, bestetik, momentu erresultantea Ere nulua izan behar da *. Gorputza homogeneoa bada eta osorik murgilduta Badago, bere grabitate-zentroa, G, eta deslekuratutako fluidoaren Grabitate-zentroa, O, puntu bera izango dira, baina gorputza inhomogeneoa bada Edota zati bat baino ez badauka murgilduta, gerta daiteke, O eta G separatuta Egotea. Kasu horretan, G beherago badago O baino, flotazioak oreka egonkorra Izango du, zeren edozein errotazio txikik eragiten dion momentuak, gorputza Berriz ere oreka posiziora eramaten baitu. Aldiz, G gorago badago O baino, Flotazioak oreka ezegonkorra izango du, zeren edozein desplazaamendu txikik Eragiten dion momentuak gorputza irauliko baitu./ Paskalen printzipioa: Estatikaren ekuaziotik ondorioztatzen da, baita ere, fluido konprimaezin bateko Puntu ezberdinen arteko presio-diferentzia konstante mantentzen dela. P1-P2=pg(z1-z2). Hortaz, bi puntu horietako batean presioa handitzen badugu, Handitze hori gainontzeko puntu guztietara ere hedatuko da: (delta)P1=(delta)P2. Hainbat aplikazio hidraauliko eta pneumatiko dago Printzipio horretan oinarrituta; besteak beste, katu hidraulikoa, mailu Pneumatikoa, autoen frenoari eragiteko pedala, hegazkinetako mandoak …* irudiko Fluidoa konprimatzen badugu, A1 gainazalean F1 indarra aplikaatuz, aplikatutako Indarrak fluidoaren presioa handitzen du: (delta)P1. Presio-handitze hori Fluido osora hedatzen da eta, bereziki, A2 gainazalera ere bai, alegia, (delta)P2=(delta)P1. Irudian ikusten den bezala, F2=F1A2/A1, eta beraz, A2 Azalera A1 baino askoz handiagoa bada, orduan fluidoak gorantz egiten duen F2 Indarra ere F1 baino askoz handiagoa izango da. A2/A1 zatidurari irabazi Mekaniko deritzo, eta objektu astun bat jaso dezakegu A2 gainazalean kokatuz Gero, eta bere pisua baino askoz txikiagoa den F1 indarra aplikatuz./// BERNOULLIREN TEOREMA. APLIKAZIOAK: TORRICELLIREN FORMULA: Demagun korronte-hodi batean zehar Zirkulatzen duen fluido ideal bat, irudiak erakusten duen bezala, eta har Dezagun S1 eta S2 sekzioek mugatutako fluido-elementua.* Denbora tarte batean, Dt, fluidoa desplazatu egiten da; aplika diezaiogun fluido-elementu horri Energiaren teorema: fluido-elementuak jasaten dituen indarrek egindako lan Erresultantea eta elementuaren energia zinetikoaren aldakuntza berdinak dira. Fluido-elementuak jasaten dituen indarrak bi motakoak dira: a) presio-indarrak: Presio indarrek elementuari bi aldeetatik eragiten diote soilik, alegia, Ezkerreko eta eskumako aldeetatik (gainontzeko hormek egindako indarrek ez dute Lanik egiten, zeren, marruskadurarik ezean, desplazamenduarekiko Perpendikularrak baitira); dei diezaiogun F1 elementuak ezkerreko aldetik Jasaten duen indarrari eta F2 eskumako aldetik jasaten duenari. Ezkerreko Aldean, F1 indarrak egindako lana hau da: dW1=F1dl1 eta eskumako aldean: DW2=F2dl2. Fluidoa ezkerretik eskumara muditzen ari bada dW1 positiboa izango Da eta dW2 negatiboa. Bestalde, hodiaren sekzioa nahikkoa txikia badaa, sekzio Osoan presioa konstantetzat har daiteke, eta hortaz: F1=P1S1 eta F2=P2S2. Orduan presio indarrek egindako lan netoa honela adieraz daiteke: DWp=dW1-dW2=P1S1dl1-P2S2dl2. Jarraitutasunaren ekuazioaren arabera, Ezkerraldeko eta eskumako bolumenak berdinak izan behar dira, alegia: S1dl10S2dl2=dV, beraz dWp=(P1-P2)dV/ b)indar grabitatorioa:grabitateak Fluido-elementuari egindako lana, energia potentzialaren aldaketa gisa idatz Daiteke (zeinua aldatuta). Hasierako posizioan, fluido-elementuak bi zatitan Bana daitezke: ezker muturreko dV elementua eta “erdialdeko” gainontzeko Bolumena. Amaireako posizioaren fluido-elementua bi zatitan bana daiteke: “erdialdeko” bolumena eta eskuin muturreko dV bolumena. Erdialdeko elementuaren Energia potentziala ez da aldatzen, aldiz, bi muturretako elementuena bai, eta Batezbesteko altuerez adieraz daitezke: h1 eta h2. Beraz: dWg=-dEp=-dmg(h2-h1) Eta dm=pdV ordezkatuz dWg=-dEp=pdVg(h1-h2) ohar bedi altueren diferentzian Ordenaa aldatu dela. Azkenik, fluido-elementu osoaren energia zinetikoaren Aldakuntza bitan bana daiteke: erdialdeko elementuaren energia zinetikoen Aldakuntzak: dEc=dm(v2ˆ2-v1ˆ2)/2 eta dm=pdV ordezkatuz: dEc=pdV(v2ˆ2-v1ˆ2)/2. Atal guztiak kalkulatu ondoren, berridatz dezagun energiaren teorema DEc=dWg+dWp pdV(v2ˆ2-v1ˆ2)/2=pdVg(h1-h2)+(P1-P2)dV atal guztietan, dV Sinplifika daiteke, muturretako elementu diferentzialaren bolumena. P(v2ˆ2-v1ˆ2)/2= Pg(h1-h2)+P1-P2) eta berrantolatuz: P1+pgh1+pv1ˆ2/2=p2+pgh2+pv2ˆ2/2 baina, 1 Eta2 sekzioak edozein izandaitezkeenez: P+pgh+pvˆ2/2=kte. Ekuazio horri Bernoulliren teorema deritzo eta fluidoen dinamikaren oinarrizko ekuazioa da; Bertan agertzen diren hiru terminoek bolumen unitateko energia edo lan Kantitateak adierazten dituzte: presioa, energia potentzial grabitatorioa eta Energia zinetikoa. Hemen, bernoulliren teorema, korronte-lerro bereko bi Punturen artean frogatu dugun arren, froga daiteke, baita ere, edozein Korronte-hoditan, fluxu laminarra eta egonkorra bada, korronte lerro guztietan Konstantearen balioa bera dela. Frogapen horretan ez dugu kontuan hartu Fluidoaren biskositatea, eta horrek, fluidoa jariatzen ari den bitartean, Barne-marruskadura sor dezake eta energia-galerak eragin, baina ekuazio Horretan termino bat gehitu daiteke energia galera ere sartzeko. Fluidoen Estatikaren oinarrizko ekuazioa ere bernoulliren ekuazioaren kasu berezi gisa Lortzen da, abiadurak nulutzat ezarrita. APLIKAZIOAK:torricelliren formula: Depositu edo andel ireki bat likidoz beteta badago eta azpialdean zulo bat Baldin badauka, zein abiaduraz egingo du ihes likidoak zulo horretatik? Aplika Dezagun bernoulliren teorema, korronte horretako bi puntutan: bata, A, justu Likidoaren gainazalean, eta bestea, B, justu zuloan bertan. B puntuaren altuera Erreferentziatzat hartzen badugu: * Patm+pgh+pvaˆ2/2=Patm+pvbˆ2/2 P(vaˆ2-vbˆ2)=2pgh kontutan hartzen badugu A sekzioa askoz handiagoa dela B Sekzioa baino, orduan, va abiadura arbuiagarria izango da vb-ren aldean, eta Ekuazioa honela sinplifikatzen da: vb=V_2gh. Adierazpen horri torricelliren Formula deritzo eta erakusten du fluidoak zuloan daukan ihes abiadura dela, A Puntuaren altueratik erortzen den gorputz aske baten abiadura bera.///