Solido geometrikoen azterketa: zilindroa, konoa, esfera, prismak, piramideak eta poliedro erregularrak

Solido Geometrikoak:

1. Gorputz Biribilak

Azal kurbaz mugatuta daude.

a) Zilindroa

Zilindro zuzena, laukizuzen batek bere aldeetako baten inguruan biratuta lortzen den solidoa. Bi oinen zentruak elkartzen dituen zuzenkia oinen planoekiko elkartuta denean. Zehiarra ere izan daiteke.

Garapena: laukizuzena goitik behera eta goian esker aldean borobil bat eta behean eskuin aldean beste borobil bat.

Bolumena: oinaren azalera (pi x r²) x altuera.

Zirkuferentziaren Luzera: pi x 2 x r.

b) Konoa

Kono zuzena. Triangeluaren angelu-zuzenak bere katetoetako baten inguruan biratzean lortzen den solidoa da. Erpina oinaren zentroarekin elkartzen duen zuzenkia oinaren planoarekiko elkartuta duena. Zehiarra ere izan liteke.

Garapena: abaniko bat erpina goian eta borobil bat behean eskuin aldean, ez eskuin-eskuinean.

Bolumena: pi x r² x altuera : 3.

c) Esfera

Zirkuluerdiak diametroaren inguruan biratuta lortzen den solidoa da. Esfera ezin da planoan garatu.

Bolumena: 4/3 x pi x r³.

2. Poliedroak

Poligoniz mugatuta daude. Poliedrotan solidoa mugatzen duten poligonoei aurpegi deritze eta bi aurpegirena den alde komunari ertz deritzo. Hainbat ertzen elkargune den puntu komunari berriz erpin deritzo.

2.1. Prismak

Plano paraleloetan kokatutako bi polígono berdinez eta polígono horien bi erpinak elkartuz lortutako poliedroei prisma deritze. Bi polígono berdinei prismaren oin deitu eta paralelogramoei aldeetako aurpegi.

Oin laukiarrak dituzten prismei, paralelopipedo deritze. Paralelopipedo angeluzuzenei ortoedro deitzen zaie, eta beren aurpegi guztiak berdinak dituzten ortoedroei, berriz, kubo edo hexaedro deitzen zaie. Oina triangelua dituzten prismei, prisma hirukiarra deritze. Oina pentagonoa duten prismei, prisma pentagonalak. Oina hexagonoa dituzten prismei, prisma hexagonalak.

Prisma Hirukiarra

Marrazkia: lauki luzea gohoraka. Goitik hirukia atera eta behean barrutik hirukia atera.

Garapena: gohoraka hiru lauki luze eta lehenean goitik hirukia atera eta behetik ere bai.

Bolumena: Oinaren azalera (a = b x h : 2) x altuera.

Prisma Laukiarra

Marrazkia: kuboa. Garapena: gohoraka lau lauki luze atera eta lehengoaren goian eta behean laukia marraztu.

Bolumena: oinaren azalera (b x h) x altuera. Aurpegi = 6; erpin = 8 eta ertz = 12.

Prisma Pentagonalak

Marrazkia: behean hiru alde ikusten direla eta atzeko biak marra diskontinuaz pentagonoa osatuz eta hau goian eginiko pentagonoaz lotu.

Garapena: bost lauki luze goraka eta lehenean goian beste lau alde atera eta behean ere berdina.

Bolumena: oinaren azalera (perimetroa x apotema : 2) x altuera. Ertz = 15; erpin = 10; aurpegi = 7.

Prisma Hexagonalak

Marrazkia: behean hiru alde ikusten direla eta atzeko hirurak marra diskontinuaz hexagonoa osatuz. Hau goian eginiko hexagonoaz osatu. Goian diskontinuarik ez.

Garapena: sei lauki luze eta alde horri beste bost alde gehitu hexagonoa osatuz. Ertz = 18; erpin = 12; aurpegi = 8.

Bolumena: Oinaren azalera (perimetroa x apotema : 2) x altuera.

2.2. Piramideak

Poligono baten oinak eta polígono horren plano berean kokatuta ez dagoen puntu bat erpinak elkartzean sortutako triangeluz mugatutako poliedroei pirámide deritze.

Piramide Hirukiarra

Marrazkia: hiruki bat egin eta beheko erpinetatik beste hiruki bat osatu. Hori goiko erpinakin lotu. Bigarren iruki hau diskontinuaz.

Garapena: hiruki bat egin eta bertatik beste hiru hiruki atera luxeagoak. Ertz = 6; erpin = 4; aurpegi = 4.

Bolumena: Oinaren azalera (b x altuera : 2) x altuera : 3.

Piramide Laukiarra

Marrazkia: Laukiaren beheko eta eskuineko aldea egin eta beste bi aldeak diskontinuaz laukia osatu eta denak erpin berberara zuzendu.

Garapena: erronbo bat egin eta alde bakoitzetik hiruki bat atera. Ertz = 8; erpin = 5; aurpegi = 5.

Bolumena: Oinaren azalera (b x altuera) x altuera : 3.

Piramide Pentagonalak

Marrazkia: Aurreko hiru alde marraztu eta atzeko biak diskontinuaz, gero denak erpinera lotu.

Garapena: pentagonoa egin eta alde bakoitzari hirukiak atera. Ertz = 15; erpin = 10; aurpegi = 7.

Bolumena: Oinaren azalera (perimetroa x apotema : 2) x altuera : 3.

Piramide Hexagonalak

Marrazkia: Aurreko hiru alde marraztu eta atzeko hirurak diskontinuaz, gero denak erpinera lotu.

Garapena: hexagonoa egin eta alde bakoitzari hirukiak atera. Ertz = 12; erpin = 7; aurpegi = 7.

Bolumena: Oinaren azalera (perimetroa x apotema : 2) x altuera : 3.

(-) Poliedroak

EULER-en Formula: aurpegi kopurua + erpin kopurua – ertz kopurua = 2.

Beren aurpegi eta angelu guztiak berdinak dituzten poliedroei poliedro irregular deritze. Bost besterik ez daude.

1. Tetaedroa: Lau triangelu aldekidez osatutako poliedro erregularra. Marrazkia: Bi hiruki eta atzean diskontinuaz marra bat. Garapena: ertz = 6; aurpegi = 4; erpin = 4.
2. Kuboa: Sei karratuz osaturiko poliedro erregularra. Bolumena: l³.
3. Oktoedroa: Zortzi triangelu aldekidez osatutako poliedro erregularra. Garapena: Sei hiruki jarraian lehena goraka, bigarrena beheraka,… hirugarrenari behean beste hiruki bat punta beheraka eta laugarrenari gainean beste bat punta gohoraka. Marrazkia: Tetaedroa goi eta behe.
4. Dodekaedroa: Hamabi pentágono irregular berdinez osatutako poliedro erregularra.
5. Ikosaedroa: Hogei triangelu aldekide berdinez osatutako poliedro erregularra.

Azalerak

• Lauki Zuzena: b x h;
• Paralelogramoa: b x h;
• Triangulua: b x h : 2;
• Erronboa: D x d : 2;
• Trapezioa: (B + A) x H : 2 (alde handia + alde txikia x altuera : 2);
• Hexagonoa eta Poligono Erregular Guztietan: Perimetroa x apotema : 2;
• Zirkuferentzi Luzera: pi x 2 x r;
• Zirkun. Azalera: pi x r².

Bolumenak

• Kuboa: l³;
• Prisma Laukiarra: oinaren azalera (b x h) x h;
• Prisma Hirukiarra: oinaren azalera (b x h : 2) x h;
• Edozein Prismaren Bolumena: Oinaren azalera x h;
• Zilindroa: pi x r² x h;
• Konoa: pi x r² x h : 3;
• Esfera: 4/3 x pi x r³;
• Piramideak: Bku = 6 x Bpi = l³ = 6 x Bpi = l x l² = 6 x Bpi = 2 x h x l² = 6 x Bpi = Bpi = 2 (kendu) x h x l² : 6 = h x l² : 3 = oinaren azalera x h : 3 = Bpi;
• Haurrekin: honela azaldu: piramidea lentejaz bete eta kubora bota. Horrela hiru aldiz. 3 x Bpi = Bku. H edozein bada prisma lortu. H oinaren neurri berekoa bada kuboa lortu. Hirukiaren altuera kuboaren altuera verdina.