Semblança, Teorema de Tales i Trigonometria: Guia Completa

Semblança de figures

Dues figures són semblants quan tenen la mateixa forma i les dimensions són proporcionals. Una semblança transforma una figura en una altra figura semblant, i la raó de semblança és la raó de proporcionalitat que mantenen les seves dimensions.

Teorema de Tales

El teorema de Tales afirma que si tres rectes paral·leles a, b i c tallen dues secants r i r', els segments que delimiten són proporcionals.

Semblança de triangles

Dos triangles són semblants quan els seus costats són proporcionals i els seus angles són iguals.

Criteris de semblança

• Criteri 1: Dos triangles són semblants si tenen dos angles iguals.
• Criteri 2: Dos triangles són semblants quan els seus tres costats són proporcionals.
• Criteri 3: Dos triangles són semblants si tenen un angle igual i els costats contigus són proporcionals.

Semblança en triangles rectangles

Les condicions de semblança en triangles es redueixen en el cas dels triangles rectangles, perquè aquests triangles sempre tenen un dels angles iguals: l'angle recte.

• Criteri 1: Dos triangles rectangles són semblants si tenen igual un dels angles aguts.
• Criteri 2: Dos triangles rectangles són semblants si els catets són proporcionals.

Teoremes fonamentals

• Teorema del catet: El quadrat d'un catet és igual al producte de la hipotenusa per la projecció d'aquest catet sobre la hipotenusa: c² = m · a i b² = n · a.
• Teorema de l'altura: El quadrat de l'altura sobre la hipotenusa és igual al producte de les projeccions dels catets: h² = m · n.

Proporcionalitat en àrees i volums

• Si dues figures planes són semblants, amb raó de semblança r, les àrees són proporcionals i la raó de les àrees és r².
• Si dos cossos geomètrics són semblants, amb raó de semblança r, els volums són proporcionals i la raó dels volums és r³.

Raons trigonomètriques

Són les raons que obtenim entre els costats de qualsevol triangle rectangle que tingui un angle de α graus:

• Sinus de α: longitud del catet oposat a α / longitud de la hipotenusa.
• Cosinus de α: longitud del catet contigu a α / longitud de la hipotenusa.
• Tangent de α: longitud del catet oposat a α / longitud del catet contigu a α.

Raons fonamentals

sin² α + cos² α = 1
tg α = sin α / cos α

Mesura d'angles

Per mesurar angles utilitzem el sistema sexagesimal o el radian. El radian és l'angle l'arc associat del qual té una longitud igual al radi del cercle. Com que la longitud de qualsevol circumferència expressada en radians és igual a 2πr / r = 2π, si tenim en compte l'equivalència 360º = 2π rad, és fàcil passar de graus a radians i a l'inrevés mitjançant una regla de tres.