Resumen de Fórmulas y Conceptos Estadísticos Clave

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Resumen de Fórmulas y Conceptos Estadísticos

Esperanza y Momentos

  • E(x) = xk P(xk)
  • E(g(x)) = g(xk)P(xk)
  • Momento no centrado de orden k: E(xk) = xk p(x)
  • Momento centrado de orden k: E((x - E(x))k) = (x - E(x))k P(x)
  • Var(x) = (x2 P(x)) - E(x)2 = E(x2) - E(x)2
  • Momento poblacional: mx(t) = E(etx) = etx p(x)

Distribuciones Discretas

Bernoulli

  • E(x) = p
  • Var(x) = p(1-p)
  • E(x2) = p

Binomial

  • P(x=k) = (nk) pk (1-p)n-k
  • E(x) = np
  • Var(x) = np(1-p)
  • E(x2) = np(1-p) + n2p2

Geométrica

  • P(x) = p(1-p)x-1
  • E(x) = 1/p
  • Var(x) = (1-p) / p2
  • E(x2) = (2-p) / p2
  • τ = 1/p

Poisson

  • P(x) = f(x) = (e λx) / x!
  • E(x) = λ
  • Var(x) = λ
  • E(x2) = λ + λ2
  • Var(x) = σx2 (desviación típica al cuadrado)

Distribuciones Continuas

General:

  • f(x) > 0
  • ∫f(x)dx = 1 (buscar constantes)

Uniforme

  • f(x) = 1 / (b-a)
  • E(x) = (a + b) / 2
  • Var(x) = (b-a)2 / 12
  • E(x2) = Var(x) + E(x)2
  • F(x) = (x-a) / (b-a)
  • E(x) = ∫x f(x) dx
  • Var(x) = ∫x2 f(x) dx - (E(x))2
  • E(g(x)) = ∫g(x) f(x) dx

Exponencial

  • f(x) = λe-λx
  • E(x) = 1/λ = α
  • Var(x) = 1/λ2 = α2
  • E(x2) = 2/λ2 = 2α2
  • F(x) = 1 - e-λx

Normal

  • f(x) = (1 / (σ √2π)) e-0.5((x-μ)2 / σ2)
  • Z: N(0,1): (x-μ) / σ

Estimación

  • E(Φ̂) = φ (insesgado)
  • lim E(Φ̂) = φ (asintóticamente insesgado)
  • E(Φ̂) ≠ φ (sesgado)
  • lim Var(Φ̂) + (E(φ̂ - Φ))2 = 0 (consistente)
  • Sesgo (φ̂) = E(Φ̂) - φ
  • Error cuadrático medio: ECM(Φ̂) = RMS(φ̂) = Var(Φ̂) + (E(φ̂) - Φ)2
  • φ̂ es óptimo si Φ̂ es insesgado y varianza mínima.
  • φ̂ es suficiente si toda la información contenida en la muestra se utiliza en la estimación.
  • Cota de Cramer = 1 / n E(z2). z := derivada Ln f(x,Φ) respecto a φ.

Caso particular: Φ = μ

  • Φ̂ = media(xn)
  • media(xn): N(μx, (σx2) / n)
  • N(0, 1): (media(xn) - μx) / (σ / √n) : σmedia(x)

Estimación por Intervalo

  • σ conocida: media(xn) - z(α/2) (σ / √n) < μ < media(xn) + z(α/2) (σ / √n)
  • σ desconocida: media(xn) - t(α/2) sn-1 / √n < μ < media(xn) + t(α/2) sn-1 / √n

Test ANOVA

  • SST = Σ ni (media xi - media x)2
  • SSE = Σ (ni - 1) Si2
  • MST = SST / (k-1)
  • MSE = SSE / (n-k)
  • F = MST / MSE
  • F > Ftabla (RHo)
  • p-value / α (nivel sign.) < 0.05 RHo
  • Intervalo de confianza media: xi - t(α/2, n-k) √(MSE / ni) < μ < xi + t(α/2, n-k) √(MSE / ni)

Test Chi Cuadrado

Independencia

  • Estadístico: Σ (oi - ei)2 / ei
  • X2 > X2tabla (0.05, (col-1)(fil-1)) RHo

Bondad de Ajuste

  • ei = npi

Ajuste Mínimos Cuadrados

  • y = a + bx
  • a = media y - b media x
  • b = sxy / sx2
  • r2 = sxy2 / (sx2 sy2) = (b2 sx2) / sy2
  • r = sxy / (sx sy)
  • Sxy = (1/n) Σ (xi - media x) (yi - media y) (Covarianza)
  • Sx2 = (1/n) Σ (xi - media x)2

Contraste de Hipótesis de la Media

  • μ = 1
  • media x100 = 0.98
  • μ < μ0 RHo izquierda 5%
  • μ > μ0 RHo derecha 5%
  • μ ≠ μ0 RHo dos lados 2.5%

Ajuste de Recta

  • ŷ = B̂0 + B̂1x
  • 0 = ŷ - B̂1
  • 1 = SSxy / SSx

Validez del Modelo

  1. Se = √(SSE / (n-2)). SSE = SSy - (SSxy2 / SSx)
  2. Ho: B1 = 0; H1: B1 ≠ 0. t = (b1̂ / √(Se / SSx)). t > t(α/2, n-2): RHo. Si α < 0.05, RHo y por lo tanto B1 ≠ 0.
  3. Ho: ρ = 0; H1: ρ ≠ 0. t = (r / Sr). Sr = √((1-r2) / (n-2)). r = SSxy / √(SSx SSy). /t/ > t(α/2, n-2) RHo: x e y variables lineales y relacionadas.

Método de Momentos y Máxima Verosimilitud

  1. E(x) = media X. Sacamos Φ̂.
  2. Tabla de probabilidad: L = f(x1) f(x2) ... f(xn). Derivada de L respecto a φ: sacamos parámetro Φ̂.

Intervalos de Predicción

  • ŷ - t(α/2, n-2) Se √(1 + 1/n + (media x - xg)2 / SSx) < y < ŷ + t(α/2, n-2) Se √(1 + 1/n + (media x - xg)2 / SSx)

Intervalos de Confianza como Estimadores del Valor Esperado

  • ŷ - t(α/2, n-2) Se √(1/n + (media x - xg)2 / SSx) < E(y) < ŷ + t(α/2, n-2) Se √(1/n + (media x - xg)2 / SSx)

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