Resumen de Fórmulas y Conceptos Estadísticos Clave
Enviado por Programa Chuletas y clasificado en Matemáticas
Escrito el en español con un tamaño de 6,43 KB
Resumen de Fórmulas y Conceptos Estadísticos
Esperanza y Momentos
- E(x) = xk P(xk)
- E(g(x)) = g(xk)P(xk)
- Momento no centrado de orden k: E(xk) = xk p(x)
- Momento centrado de orden k: E((x - E(x))k) = (x - E(x))k P(x)
- Var(x) = (x2 P(x)) - E(x)2 = E(x2) - E(x)2
- Momento poblacional: mx(t) = E(etx) = etx p(x)
Distribuciones Discretas
Bernoulli
- E(x) = p
- Var(x) = p(1-p)
- E(x2) = p
Binomial
- P(x=k) = (nk) pk (1-p)n-k
- E(x) = np
- Var(x) = np(1-p)
- E(x2) = np(1-p) + n2p2
Geométrica
- P(x) = p(1-p)x-1
- E(x) = 1/p
- Var(x) = (1-p) / p2
- E(x2) = (2-p) / p2
- τ = 1/p
Poisson
- P(x) = f(x) = (e-λ λx) / x!
- E(x) = λ
- Var(x) = λ
- E(x2) = λ + λ2
- Var(x) = σx2 (desviación típica al cuadrado)
Distribuciones Continuas
General:
- f(x) > 0
- ∫f(x)dx = 1 (buscar constantes)
Uniforme
- f(x) = 1 / (b-a)
- E(x) = (a + b) / 2
- Var(x) = (b-a)2 / 12
- E(x2) = Var(x) + E(x)2
- F(x) = (x-a) / (b-a)
- E(x) = ∫x f(x) dx
- Var(x) = ∫x2 f(x) dx - (E(x))2
- E(g(x)) = ∫g(x) f(x) dx
Exponencial
- f(x) = λe-λx
- E(x) = 1/λ = α
- Var(x) = 1/λ2 = α2
- E(x2) = 2/λ2 = 2α2
- F(x) = 1 - e-λx
Normal
- f(x) = (1 / (σ √2π)) e-0.5((x-μ)2 / σ2)
- Z: N(0,1): (x-μ) / σ
Estimación
- E(Φ̂) = φ (insesgado)
- lim E(Φ̂) = φ (asintóticamente insesgado)
- E(Φ̂) ≠ φ (sesgado)
- lim Var(Φ̂) + (E(φ̂ - Φ))2 = 0 (consistente)
- Sesgo (φ̂) = E(Φ̂) - φ
- Error cuadrático medio: ECM(Φ̂) = RMS(φ̂) = Var(Φ̂) + (E(φ̂) - Φ)2
- φ̂ es óptimo si Φ̂ es insesgado y varianza mínima.
- φ̂ es suficiente si toda la información contenida en la muestra se utiliza en la estimación.
- Cota de Cramer = 1 / n E(z2). z := derivada Ln f(x,Φ) respecto a φ.
Caso particular: Φ = μ
- Φ̂ = media(xn)
- media(xn): N(μx, (σx2) / n)
- N(0, 1): (media(xn) - μx) / (σ / √n) : σmedia(x)
Estimación por Intervalo
- σ conocida: media(xn) - z(α/2) (σ / √n) < μ < media(xn) + z(α/2) (σ / √n)
- σ desconocida: media(xn) - t(α/2) sn-1 / √n < μ < media(xn) + t(α/2) sn-1 / √n
Test ANOVA
- SST = Σ ni (media xi - media x)2
- SSE = Σ (ni - 1) Si2
- MST = SST / (k-1)
- MSE = SSE / (n-k)
- F = MST / MSE
- F > Ftabla (RHo)
- p-value / α (nivel sign.) < 0.05 RHo
- Intervalo de confianza media: xi - t(α/2, n-k) √(MSE / ni) < μ < xi + t(α/2, n-k) √(MSE / ni)
Test Chi Cuadrado
Independencia
- Estadístico: Σ (oi - ei)2 / ei
- X2 > X2tabla (0.05, (col-1)(fil-1)) RHo
Bondad de Ajuste
- ei = npi
Ajuste Mínimos Cuadrados
- y = a + bx
- a = media y - b media x
- b = sxy / sx2
- r2 = sxy2 / (sx2 sy2) = (b2 sx2) / sy2
- r = sxy / (sx sy)
- Sxy = (1/n) Σ (xi - media x) (yi - media y) (Covarianza)
- Sx2 = (1/n) Σ (xi - media x)2
Contraste de Hipótesis de la Media
- μ = 1
- media x100 = 0.98
- μ < μ0 RHo izquierda 5%
- μ > μ0 RHo derecha 5%
- μ ≠ μ0 RHo dos lados 2.5%
Ajuste de Recta
- ŷ = B̂0 + B̂1x
- B̂0 = ŷ - B̂1x̂
- B̂1 = SSxy / SSx
Validez del Modelo
- Se = √(SSE / (n-2)). SSE = SSy - (SSxy2 / SSx)
- Ho: B1 = 0; H1: B1 ≠ 0. t = (b1̂ / √(Se / SSx)). t > t(α/2, n-2): RHo. Si α < 0.05, RHo y por lo tanto B1 ≠ 0.
- Ho: ρ = 0; H1: ρ ≠ 0. t = (r / Sr). Sr = √((1-r2) / (n-2)). r = SSxy / √(SSx SSy). /t/ > t(α/2, n-2) RHo: x e y variables lineales y relacionadas.
Método de Momentos y Máxima Verosimilitud
- E(x) = media X. Sacamos Φ̂.
- Tabla de probabilidad: L = f(x1) f(x2) ... f(xn). Derivada de L respecto a φ: sacamos parámetro Φ̂.
Intervalos de Predicción
- ŷ - t(α/2, n-2) Se √(1 + 1/n + (media x - xg)2 / SSx) < y < ŷ + t(α/2, n-2) Se √(1 + 1/n + (media x - xg)2 / SSx)
Intervalos de Confianza como Estimadores del Valor Esperado
- ŷ - t(α/2, n-2) Se √(1/n + (media x - xg)2 / SSx) < E(y) < ŷ + t(α/2, n-2) Se √(1/n + (media x - xg)2 / SSx)