Resolución de Problemas de Probabilidad y Distribuciones Estadísticas

1. Selección de Subcomités y Probabilidad

Se han seleccionado dos miembros de un consejo municipal, de entre un total de 5, para formar un subcomité para estudiar los problemas de tránsito en la ciudad.

A) ¿Cuántos subcomités diferentes son posibles?

Respuesta: Se utiliza la fórmula de combinaciones $C(n, k)$, donde $n=5$ y $k=2$. En la calculadora se ingresa como "5 nCr 2".
Resultado: 10 subcomités posibles.

B) Si todos los posibles miembros del concejo tienen igual probabilidad de ser seleccionados, ¿cuál es la probabilidad de que sean seleccionados Smith y Jones?

Respuesta: Dado que solo hay una combinación específica que incluye a Smith y Jones de las 10 posibles:
Cálculo: $1/10 = 0,1 = 10\%$.

2. Distribución de Probabilidad de una Variable Aleatoria Discreta

Una variable aleatoria X tiene la siguiente distribución de probabilidad:

A) Encuentra p(4)

Respuesta: Para hallar el valor faltante, debemos sumar todas las probabilidades conocidas y restarlas de 1 (que representa el espacio muestral total).
Cálculo: $0,1 + 0,3 + 0,4 + 0,1 + 0,05 = 0,95$.
$1 - 0,95 = 0,05$.
Resultado: $p(4) = 0,05$.

B) Construya un histograma de probabilidades para describir p(x)

Respuesta: Se debe realizar un gráfico de barras donde el eje X represente los valores de la variable (0 a 5) y el eje Y represente su probabilidad correspondiente.

C) Encuentre la media (μ), varianza (σ²) y desviación estándar (σ)

Respuesta: Cálculo de la esperanza matemática (media):
$(0 \times 0,1) = 0$
$(1 \times 0,3) = 0,3$
$(2 \times 0,4) = 0,8$
$(3 \times 0,1) = 0,3$
$(4 \times 0,05) = 0,2$
$(5 \times 0,05) = 0,25$
Resultado μ: 1,85.

5. Análisis de Distribución Binomial

El 40% de los estadounidenses que viajan en auto buscan gasolineras y mercados de alimentos que sean cercanos o visibles desde la carretera. Suponga que a una muestra aleatoria de $n=25$ estadounidenses que viajan en auto se les pregunta cómo determinan dónde detenerse. Sea X el número de la muestra que responde afirmativamente.

A) ¿Cuáles son las medias y varianzas de X?

Respuesta: Identificamos los datos:

• Probabilidad de éxito (p): 0,4 (40%)
• Tamaño de la muestra (n): 25
• Tipo de variable: Discreta (Binomial)

Cálculos:
Media (μ): $n \times p = 25 \times 0,4 = 10$.
Varianza (σ²): $n \times p \times q = 25 \times 0,4 \times 0,6 = 6$. (Donde $q$ es el complemento $1-p$).
Desviación estándar (σ): $\sqrt{6} \approx 2,449489743$.

B) Probabilidad de que X esté entre 6 y 14: P(6 ≤ X ≤ 14)

Respuesta: Se utiliza la fórmula binomial $C(n, k) \times p^k \times q^{n-k}$ para cada valor y se suman:

• p(14): $25C14 \times 0,4^{14} \times 0,6^{11} = 0,043409545$
• p(13): $25C13 \times 0,4^{13} \times 0,6^{12} = 0,075966705$
• p(12): $25C12 \times 0,4^{12} \times 0,6^{13} = 0,113950057$
• p(11): $25C11 \times 0,4^{11} \times 0,6^{14} = 0,146$
• p(10): $25C10 \times 0,4^{10} \times 0,6^{15} = 0,1611$
• p(9): $25C9 \times 0,4^9 \times 0,6^{16} = 0,1510$
• p(8): $25C8 \times 0,4^8 \times 0,6^{17} = 0,1199$
• p(7): $25C7 \times 0,4^7 \times 0,6^{18} = 0,0799$
• p(6): $25C6 \times 0,4^6 \times 0,6^{19} = 0,0442$

Resultado final: 0,891 de probabilidad entre 6 y 14.

6. Distribución Hipergeométrica

Sea X el número de éxitos observados en una muestra de $n=5$ artículos seleccionados de entre $N=10$. Suponga que, de los $N=10$ elementos, 6 eran considerados "Éxitos".

Datos:

• Población total (N): 10
• Muestra (n): 5
• Éxitos en población (K): 6
• Fracasos en población: 4

Cálculo para 2 éxitos: $\frac{6C2 \times 4C3}{10C5} = \frac{15 \times 4}{252} = \frac{60}{252} \approx 0,238$ (o 0,24).

A) Encuentre la probabilidad de no observar dos datos

Respuesta: Se utiliza el complemento.
Cálculo: $1 - 0,238 = 0,762$.

B) Encuentre la probabilidad de observar al menos dos éxitos

Respuesta: Se deben sumar las probabilidades desde $p(2)$ hasta $p(5)$, o restar $p(0)$ y $p(1)$ de 1.
Cálculo de p(1): $6C1 \times 4C4 / 10C5 = 6 \times 1 / 252 = 6 / 252 \approx 0,0238$.

C) Encuentre la probabilidad de observar dos éxitos (acumulada)

Respuesta: $p(1) + p(2) = 0,0238 + 0,238 = 0,2618$. Esta es la probabilidad acumulada de observar hasta 2 éxitos.

7. Aplicación de Distribución de Poisson

Un artículo de USA Today informa que entre personas de 35 a 65 años de edad, casi dos terceras partes dicen no estar preocupados por ser forzados a jubilarse. Suponga que al azar se seleccionan 15 personas.

Datos:

• Rango: 35-65 años.
• Proporción: 2/3 no preocupados.
• Muestra (n): 15 personas.
• Parámetro (μ o λ): 0,7.
• X: Personas que no están preocupadas por jubilarse.

A) Distribución

Se plantea el uso de la Distribución de Poisson.

B) p(X ≤ 8)

C) p(X > 8)

D) p(X ≤ C) ≤ 0,1

Fórmula de Poisson: $P(X=k) = \frac{\mu^k \times e^{-\mu}}{k!}$

Valores:

• μ: 0,7
• k: Valores de 0 a 8.
• e: 2,718281828

Ejemplos de cálculo:

• p(x=0): $0,7^0 \times e^{-0,7} / 0!$
• p(x=8): $0,7^8 \times e^{-0,7} / 8!$

(Se deben calcular los valores intermedios 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 para completar la probabilidad acumulada).