Resolución de Problemas de Cálculo Vectorial e Integrales

Objetivo 2: Resolución de Integrales Trigonométricas

Se plantea la siguiente igualdad:

∫ 1/(1+x²) dx = ∫ 1/(1+x²) dx

Aplicando la integración:

arctg(x) = arctg(x)

Evaluando los límites:

arctg(a) - arctg(0) = arctg(∞) - arctg(a)

arctg(a) + arctg(a) = arctg(∞)

2 arctg(a) = π/2

arctg(a) = π/4

Tomando la tangente en ambos lados:

tg(arctg(a)) = tg(π/4)

a = 1

Objetivo 7: Producto Escalar e Integración

Dada la integral ∫ k · f(t) dt, con k = (√3, 0, 5) y f(t) = (t cos(t), t, 3):

∫ (√3, 0, 5) · (t cos(t), t, 3) dt = ∫ (√3 t cos(t) + 15) dt

= √3 ∫ t cos(t) dt + 15 ∫ dt

Resolviendo ∫ t cos(t) dt por partes (u = t, dv = cos(t) dt):

∫ t cos(t) dt = t sen(t) - ∫ sen(t) dt = t sen(t) + cos(t)

Por lo tanto:

∫ k · f(t) dt = t sen(t) + cos(t) + 15t

Evaluando los límites:

= (cos(π) - cos(0)) + 15(π - 0) = -1 - 1 + 15π = 15π - 2

Objetivo 8: Cálculo de Curvatura

Dada la función f(t) = (a cos(t), a sen(t), (b/2π)t):

• 1ra derivada: f'(t) = (-a sen(t), a cos(t), b/2π)
• 2da derivada: f''(t) = (-a cos(t), -a sen(t), 0)

Calculando el producto vectorial f'(t) × f''(t):

f'(t) × f''(t) = ( (ba/2π) sen(t), -(ba/2π) cos(t), a²)

Calculando la magnitud |f'(t) × f''(t)|:

|f'(t) × f''(t)| = √( (b²a²/4π²) + a⁴ ) = a √( (b²/4π²) + a² ) = (a/2π) √(b² + 4π²a²)

Calculando la magnitud |f'(t)|:

|f'(t)| = √(a² sen²(t) + a² cos²(t) + b²/4π²) = √(a² + b²/4π²) = (1/2π) √(4π²a² + b²)

Finalmente, la curvatura k es:

k = |f'(t) × f''(t)| / |f'(t)|³

k = 4π²a / (4π²a² + b²)