Resolución de Ecuaciones Diferenciales en Sistemas Vibratorios y Amortiguados

1. Resorte en vibración con amortiguamiento

a. Determine la solución para el resorte si m = 10 kg, b = 60 kg/s, k = 250 kg/s², y(0) = 0.3 m y y'(0) = -0.1 m/s.

La ecuación diferencial del sistema es: my''(t) + by'(t) + ky(t) = 0

Sustituyendo los valores: 10y''(t) + 60y'(t) + 250y(t) = 0

Simplificando: y''(t) + 6y'(t) + 25y(t) = 0

Sea y(t) = e^rt, obtenemos la ecuación característica:

r² + 6r + 25 = 0

Resolviendo mediante la fórmula general: r = (-6 ± √36 - 4(25)) / 2 = -3 ± 4i

Solución general: y(t) = e^-3t(c₁cos(4t) + c₂sen(4t))

Aplicando las condiciones iniciales:

y(0) = 0.3 = c₁

Derivando y evaluando: y'(t) = e^-3t(0.3cos(4t) + 0.2sen(4t))

b. Frecuencia de oscilación: f = ω / 2π = 4 / 2π = 2 / π

c. Efecto del amortiguamiento: El amortiguamiento provoca una disminución en la frecuencia de oscilación. A medida que t → ∞, y(t) → 0.

2. Puerta de doble acción con tornillo de ajuste

La ecuación diferencial es: Iθ'' + bθ' + kθ = 0

Sea θ = e^rt, entonces la ecuación auxiliar es: Ir² + br + k = 0

La solución es: r = (-b ± √(b² - 4Ik)) / 2I

La condición para que el sistema no oscile (sobreamortiguado) es: b² - 4Ik ≥ 0, es decir, b² ≥ 4Ik.

3. Ecuaciones diferenciales con raíces complejas repetidas

a) Para y⁽⁴⁾ + 2y'' + y = 0:

Ecuación auxiliar: r⁴ + 2r² + 1 = 0 → (r² + 1)² = 0 → r = ±i, ±i

Solución: y(t) = (c₁ + c₂t)cos(t) + (c₃ + c₄t)sen(t)

b) Para y⁽⁴⁾ + 4y''' + 12y'' + 16y' + 16y = 0:

Ecuación auxiliar: (r² + 2r + 3)² = 0 → r = -1 ± i√3, -1 ± i√3

Solución: y(t) = e^-t((c₁ + c₂t)cos(√3t) + (c₃ + c₄t)sen(√3t))

4. Resolución de y'' - y' + 9y = 3sen(3t)

Polinomio característico: p(r) = r² - r + 9 = 0. Las raíces son (1/2) ± i(√35/2).

Como sen(3t) no es solución homogénea, usamos el método de coeficientes indeterminados:

yₚ = A sen(3t) + B cos(3t)

Tras sustituir en la ecuación diferencial y agrupar términos, obtenemos A = 0 y B = 1.

Solución particular: yₚ = cos(3t)

Método alternativo (Números complejos): Utilizando la ecuación compañera v'' - v' + 9v = 3cos(3t) y la forma compleja w = iy + v, se confirma que yₚ = Im(wₚ) = cos(3t).