Resolució d'exercicis de càlcul i anàlisi de funcions

1. Estudi de funcions i rectes tangents

• a) Creixement: (-∞, 1) ∪ (5, +∞). Decreixement: (1, 5). Extrems relatius: Mínim en x=1, Màxim en x=5.
• b) Donat f(3)=2, el punt és (3, 2). Equació punt-pendent: y=mx+n. Si m=f'(3)=-4, llavors 2=(-4)·3+n → 2=-12+n → n=14. L'equació és y=-4x+14.

2. Anàlisi de funcions exponencials i polinòmiques

• a) e^-x=0 no té solució. Per a x-x²=0, tenim x(1-x)=0, per tant x=0 i x=1. Creixent en (0, 1), decreixent en (-∞, 0) ∪ (1, +∞).
• b) Taula de signes: negatiu, positiu, negatiu. Mínim en x=0, màxim en x=1.

3. Aplicació de funcions a problemes de notes

• a) N(10)=250-(2·10-9)²=129. N(6)=250-(2·6-9)²=241.
• b) N'(x)=-4(2x-9)=0 → x=4,5. Màxim en 4,5. La nota amb més freqüència és 4,5. N(4,5)=250 persones.

4. Resposta múltiple

La resposta correcta és la C.

5. Punt d'inflexió

PI=2. No té màxims ni mínims, ja que tendeix de -∞ a +∞.

6. Estudi de la funció P(t)

P(t)= 1/5 · (-t³+ 49t²- 760t+ 3690) per a 17≤t≤21.

• a) P'(t)= -1/5 · (-3t²+ 98t- 760)= 0. Aplicant la fórmula quadràtica, obtenim t=12,6 i t=20. Segons la taula (17, 20, 21), el màxim és en t=20. La funció augmenta en (17, 20) i disminueix en (20, 21).