Representación de puntos en el plano r2

Proyección CÓNICA O CENTRAL: Está caracterizada por un punto ‘’v’’ del espacio, propio o finito al que denominamos centro de proyección;
Un plano ‘’π’’ al que llamamos plano de proyección y sobre el que proyectamos oblicuamente los puntos del espacio mediante rayos proyectantes (ver figura 1). 

PERSPECTIVA EN GEOMETRÍA: Definición Y DIVISIÓN: El concepto de perspectiva viene del latín ‘’perspicere’’, que significa ver a través la cual se puede definir como ‘’toda proyección de un cuerpo sobre un plano tal y como le aparece a un observador desde un punto de vista determinado’’. La imagen de una figura, un edificio, etc. Varía según el observador, por cuyo motivo podemos considerar dos clases de perspectiva.

1. Perspectiva artística: Es la realizada por el observador tal y como aparece en su imaginación, sin tener en cuenta las reglas y normas de la perspectiva.

2. Perspectiva geométrica: El observador representa con exactitud y atendiendo todas las normas de lo observado. Esta a su vez se divide en: perspectiva lineal o cónica, perspectiva luminar o aérea

3. Perspectiva lineal o cónica: Representa la forma, el contorno y las principales líneas de los cuerpos representándolos en un plano con precisión y normas geométricas, dando la impresión real a nuestra vista, con sus deformaciones naturales y reducciones aparentes producidas por el efecto de la distancia. Esta a su vez se divide en: Perspectiva paralela de frente o de un punto de fuga. Perspectiva oblicua de dos puntos de fuga. Perspectiva oblicua de tres puntos de fuga. Perspectiva luminar o aérea: Representa la forma corpórea de los objetos mediante claroscuros y sombras tanto propias como arrojadas, dando una sensación de realidad.

FUNDAMENTO. Partimos de un plano denominado plano de cuadro ‘’PC’’, un punto de vista ‘’V’’ centro de proyección, donde está situado el observador. La distancia del punto ‘’V’’ al ‘’PC’’ es el alejamiento ‘’D’’. Desde ‘’V’’ proyectamos ortogonalmente sobre el ‘’PC’’ y obtenemos el punto principal ‘’P’’, siendo la distancia ‘’D’’ la que va desde ‘’V’’ a ‘’P’’. Para hallar la perspectiva de un punto ‘’(A) ’’ del espacio dirigimos desde ‘’V’’ la visual a él, y la intersección de dicha visual con el ‘’PC’’ nos daría la perspectiva ‘’A’’ del punto. La notación del punto del sistema cónico, se realiza mediante letras mayúsculas entre paréntesis si esta en el espacio, o sin paréntesis si está en perspectiva. La proyección ortogonal del punto sobre el ‘’PC’’ se representan con “A’” pudiéndose respetar la alineación entre P-A-A’ (ver figura 5). Como resulta difícil en la práctica realizar la perspectiva de cualquier objeto o cuerpo con lo anteriormente expuesto, dado que solo conocemos el punto de vista ‘’V’’ y el alejamiento ‘’D’’, por cuyo motivo resulta difícil determinar:

1. Situación de horizontalidad o verticalidad de planos y líneas

2. Tamaño del objeto y su distancia al plano del cuadro

3. Posición del ‘’PC’’ en el espacio (vertical o inclinado)

Para salvar todos estos inconvenientes y conseguir que todo el sistema sea representativo hemos de utilizar ciertas referencias y planos auxiliares, que sin modificar las propiedades y carácterísticas de la proyección central faciliten la construcción y nos ayuden a ver en el espacio la forma, posición y situación del objeto a representar. Estos elementos son los siguientes:

1. Plano del cuadro: es el plano vertical sobre el cual representamos las imágenes. Está generalmente situado entre el observador y el objeto a representar. Es la hoja de papel sobre la cual dibujamos  por lo que recibe el nombre de plano del dibujo. Es el plano perpendicular al “PG-PH”, paralelo al “PD”.

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Plano geometral

Es el plano horizontal sobre el cual se sitúan los dibujos geométricos a escala de un objeto y se utiliza para trasladar sobre el terreno la distribución, forma, y dimensiones reales con las que debemos operar en perspectiva. Es el plano perpendicular al “PC-PD” y paralelo al “PH”.

3. Plano de horizonte: es el plano que contiene al rayo principal sobre el que están situados el punto de vista y el punto principal. Es el plano perpendicular al “PC-PD” y paralelo a “PG”.

4.Plano de desvanecimiento: es el plano vertical que coincide con la situación del observador y contiene al punto de vista. Es el plano perpendicular al “PH-PDG” y paralelo a “PC”.

5. Línea de tierra (LT): es la línea de partida de terreno hacia el infinito y sobre ella se toman las medidas reales. Sobre la “LTH”, se tomarán las anchuras y profundidades y sobre la “LTV”, las alturas. Es la recta intersección del “PC y PG”.

6. Línea de horizonte: es la línea horizontal trazada sobre el plano del dibujo a la altura de la vista del observador y pasa siempre por el punto principal. Es la recta intersección entre el “PC y PH”.

7. Línea de desvanecimiento: es la línea horizontal trazada sobre el plano geometral a la altura de la proyección del punto de vista. Es la recta intersección entre el plano “PD y PG”.

8. Punto de vista: es el punto donde se suponen situados los ojos del observador. Y está contenido en el “PH y PB”

9. Punto principal: es el punto de fuga principal situado en la proyección perpendicular del punto de vista con el “PC”. A él concurren todas las rectas paralelas al suelo y que a la vez son perpendiculares al plano del dibujo. Definido por el alejamiento, y está contenido en el “PC y PH”.

10. Rayo principal: es la visual que parte del ojo del observador y está dirigido perpendicularmente hacia el “PC”, determinando sobre el horizonte el punto principal. El rayo principal es el eje del cono visual u óptico. Pasa por el punto de vista y es perpendicular al “PC” determinando sobre la “LH” al punto principal.

11. Cono visual u óptico: es el conjunto de rayos visuales que parten del ojo del observador en una sola mirada y sin mover la cabeza. Tiene dirigido el eje al centro del objeto y su apertura es de 60^o.

12. Puntos de distancia (D-D’): son puntos de fuga de las líneas horizontales situadas a 45^o en relación con el “PC”. Están colocados sobre la “LH” y equidistantes del punto principal a una distancia igual al del punto de vista (perspectiva de frente).

13. Puntos de fuga (F-F’): son puntos hacia los que convergen las rectas paralelas al “PC”. Están situados sobre la “LH” formando ángulos complementarios cuya suma a de ser igual a 90^o con el “PC” (perspectiva oblicua).

14. Puntos métricos (M-M’): son puntos de fuga que se emplean para transferir medidas tomadas en el “PC”. Su situación está en función de los de fuga y siempre sobre la “LH”.

Cuando tengamos que representar una perspectiva cónica debemos saber que el campo de visión es limitado y está situado dentro de un ángulo de 60^o aproximadamente, por tanto hemos de tenerlo en cuanta a la hora de elegir “V”. Generalmente el plano del cuadro debe estar situado entre el punto de vista “V” y el objeto a representar, aunque no es preceptivo. Los objetos se verán más pequeños a medida que se alejan del “PC”, siendo necesario para obtener una buena perspectiva que la distancia entre el observador y el objeto no sea inferior a vez y media la mayor dimensión de éste. En la practica la distancia del punto de vista “V” al plano de cuadro “PC” suele ser muy grande, por tanto los puntos de distancia pueden estar situados fuera del dibujo. En este caso podemos situar sobre la línea de horizonte “LH” una parte alícuota de dicha distancia y a los que denominaremos puntos de distancia reducidos.

APLICACIONES PRACTICAS DEL SISTEMA: Se establece que el ‘’PC’’ es transparente y el “PG” opaco. Por tanto será visible lo que esté por encima de este e invisible lo que se encuentre por debajo. Para ello dibujaremos la representación del punto, recta y plano.

Representación DEL PUNTO: Dado un punto del espacio (M) y su proyección ortogonal sobre el “PG” (M’). Sus respectivas perspectivas “(M)-(M)’” están en las visuales “V-(M), V-(M’)”, y en la traza “C-M” del “PC” con el definido por estas visuales. Este plano contiene a los segmentos “V-V’” y “(M)-(M)’”, y corta al “PG” en la recta “(M’)-V’ y a la línea de tierra en “C”. Si proyectamos ortogonalmente “(M)” en el espacio y “(M’)” en el espacio sobre el “PC” tenemos los puntos “A y B” (H= verdadera magnitud) y estos puntos los unimos con el punto principal P-V’’, obtendremos las proyecciones de las visuales que pasan por “(M)” y por “(M’)”.

Representación DE LA RECTA: Sea la recta del espacio (r) y su proyección ortogonal (r’) la cual corta al “PG” en los puntos” (R₁)-(R₁’)” y al PC en R₂-R₂’.

Para hallar otro punto de la recta trazaremos la paralela a la recta (r) desde V. La cual corta al PC en F-F’ y al que denominaremos punto de fuga de la recta, por ser la perspectiva del punto en el infinito de la misma. Si unimos F-R₂ obtendremos la perspectiva directa r de la recta (r) del espacio. Los mismo deberemos hacer uniendo F’-R₂’ obtendremos r’ que es la proyección de (r’) del espacio.

Debemos fijarnos que F’ proyección del punto de fuga sobre el PH siempre estará en la línea de horizonte LH. Por el contrario F puede estar confundido con F’ o bien, en la perpendicular por F’ a la LH.

Debemos recordar que el punto R₂’, proyección de la recta sobre el PG, corta al PC y siempre estará en la LT y R₂ en la perpendicular desde R₂’ a LT.

Representación DEL PLANO: Sea un plano cualquiera del espacio (α) y oblicuo a los de proyección el cual corta al PC  en la recta α_c y al PG en (α_g) y estas dos rectas se cortan a la vez en A. La perspectiva de la traza α_c es ella misma por estar contenida en el PC, y la de α_g del espacio es α_g la cual une el punto A del plano del cuadro con el punto F-F’, punto de fuga de la recta α_g del espacio. Este punto F-F’ está situado en la LH y se obtiene trazando desde V una paralela a α_g del espacio hasta que corte a la LH.

El plano paralelo a (α) del espacio que pasa por el punto de vista V corta al PCen la recta α_f la cual es paralela a α_c y pasa siempre por F-F’. Esta recta α_f se denomina recta de fuga del plano dado que es la perspectiva de la recta del infinito del mismo; las rectas α_c yα_g se cortan en un punto de la LT. (ver figuras).