Relación entre Momentos de Empotramiento y Desplazamientos en Estructuras

Relación entre Momentos de Empotramiento y Desplazamientos

El objetivo es deducir la relación existente entre los momentos de empotramiento elástico actuantes en los dos extremos de una barra recta de una estructura de nudos rígidos y los desplazamientos de los dos nudos a los que acomete.

Definimos M_a y M_b como los momentos de empotramiento elástico:

M_ab = M_ab^(-) + M_ab^{(^)} + M_ab^(o)

Cálculo mediante E.U.L.E.

* Del estado (II) aplicando la E.U.L.E.:

EI·v(b) = EI·v(a) - (M_ab·l_ab²)/2 - (V_ab^{(^)}·l_ab³)/6 = 0

-M_ab^{(^)}·l_ab - (V_ab^{(^)}·l_ab²)/2 => V_ab^{(^)} = -2(M_a^{(^)}·l_ab)/l_ab²

M_ab^{(^)} = (6EI / l_ab²) · (v_a - v_b)

* Del estado (III), aplicando E.U.L.E.:

0 = EI·θ_a·l_ab - (M_ab^(o)·l_ab²)/2 - (V_ba^(o)·l_ab³)/6

EI·θ_b = EI·θ_a - (M_ab^(o)·l_ab) - (V_ba^(o)·l_ab²)/2

Multiplicando por (-l_ab/3):

M_ab^(o) = (2EI / l_ab) · (2θ_a + θ_b)

M_ba^(o) = (2EI / l_ab) · (2θ_b + θ_a)

Ecuaciones Finales

M_ab = M_ab^(-) + (6EI / l_ab²)(v_a - v_b) + (2EI / l_ab)(2θ_a + θ_b)

M_ba = M_ba^(-) + (6EI / l_ab²)(v_a - v_b) + (2EI / l_ab)(2θ_b + θ_a)

Conceptos Fundamentales

• Coeficiente de rigidez a flexión de una barra: Si tenemos una barra M-N inicialmente biempotrada, en la que el extremo N experimenta un giro, los momentos producidos son:
  M_MN = (2EI / L)_MN · θ_N
  M_NM = (2EI / L)_MN · 2θ_N = (4EI / L)_MN · θ_N
  Si θ_N = 1, entonces K_MN = (4EI / L)_MN, que representa la magnitud del momento necesario para producir un giro de 1 radián.
• Coeficiente de reparto: Es la relación entre la rigidez de una barra y la suma de rigideces de las barras que acometen en un nudo. Por cada barra aparecen dos coeficientes de rigidez correspondientes a sus dos extremos.
• Coeficiente de reparto en nudos rígidos: Los momentos que aparecen en un nudo ante un estado de cargas se reparten en partes proporcionales a:
  C_DA = C_DB = C_DC = (Rigidez de la barra) / (Sumatoria de las rigideces que llegan al nudo)