Relación entre Diferenciabilidad, Continuidad y Derivadas Parciales

Demostración de la Continuidad a partir de la Diferenciabilidad

Por hipótesis, f es diferenciable en (x₀, y₀), esto quiere decir que:

f(x, y) - f(x₀, y₀) = Δz = fₓ(x₀, y₀)Δx + fᵧ(x₀, y₀)Δy + ε₁(x, y)Δx + ε₂(x, y)Δy

Para verificar la continuidad, por definición, debemos comprobar si:

lim_{(x,y)→(x₀,y₀)} f(x,y) = f(x₀, y₀)

Al calcular el límite:

lim_{(x,y)→(x₀,y₀)} f(x, y) = lim_{(x,y)→(x₀,y₀)} [ fₓ(x₀, y₀)Δx + fᵧ(x₀, y₀)Δy + ε₁(x, y)Δx + ε₂(x, y)Δy + f(x₀, y₀) ]

(Nota: todos los términos con Δ tienden a 0)

lim_{(x,y)→(x₀,y₀)} f(x, y) = f(x₀, y₀)

∴ f es continua en (x₀, y₀)

Relación entre Continuidad y Derivadas: Contraejemplos

Definimos los estados: 1 (Continua), 2 (Existen fₓ y fᵧ), 3 (Diferenciable).

Regla de oro: 3 implica 1, y 3 implica 2. El recíproco NO es necesariamente cierto.

A: 1 NO implica 2 (Continua sin derivadas)

Función: f(x,y) = |x| en (0,0)

• Es continua: lim_{(x,y)→(0,0)} |x| = 0 y f(0,0) = |0| = 0.
• Falla la derivada fₓ: Usamos la definición formal.

fₓ(0,0) = lim_h→0 [ f(0+h, 0) - f(0,0) ] / h = lim_h→0 [ |h| / h ]

Analizamos límites laterales por el valor absoluto:

• Por derecha (h→0⁺): lim_h→0⁺ [ h / h ] = 1
• Por izquierda (h→0⁻): lim_h→0⁻ [ -h / h ] = -1

Como 1 ≠ -1, el límite no existe. ∴ NO existe fₓ(0,0).

B: 2 NO implica 1 (Derivadas existentes sin continuidad)

Función: f(x,y) = 1 si (x·y = 0); f(x,y) = 0 si (x·y ≠ 0)

• Existen las derivadas: fₓ(0,0) = lim_h→0 [ f(h, 0) - f(0,0) ] / h = lim_h→0 [ 1 - 1 ] / h = 0 (Idéntico para fᵧ(0,0) = 0).

Falla la continuidad: Acercamiento por dos caminos distintos.

• Camino 1 (eje X, y=0): lim_x→0 f(x,0) = 1
• Camino 2 (curva y=x²): lim_x→0 f(x,x²) = 0

Como 1 ≠ 0, el límite general no existe. ∴ f no es continua en (0,0). Al no ser continua, tampoco es diferenciable.

Derivada Direccional

Dᵤ f(x,y) = ∇f(x,y) · u = |∇f(x,y)| · |u| · cos(θ)

(Donde θ es el ángulo entre los vectores ∇f(x,y) y u).

El valor máximo de Dᵤ f(x,y) es |∇f(x,y)| y ocurre cuando θ = 0, es decir, cuando el gradiente y el versor son paralelos y del mismo sentido.

Teorema de Fermat para dos variables

Si f tiene un máximo o mínimo local en (x₀, y₀) y las derivadas parciales de primer orden existen, entonces:

fₓ(x₀, y₀) = 0 y fᵧ(x₀, y₀) = 0. En notación vectorial: ∇f(x₀, y₀) = 0.

Interpretación geométrica: Si la gráfica tiene un plano tangente en un extremo local, este debe ser horizontal (z = z₀).