Regresión lineal simple: contraste de hipótesis, ANOVA, validación del modelo y estadística descriptiva

Contraste de hipótesis

Contraste con cota de error

• α = P(rechazar H0 | H0 cierta) = P(no estar en el intervalo crítico) = 1 − P(...)
• β = P(aceptar H0 | H0 falsa) = P(no rechazar H0 | H0 falsa) = P(estar en el intervalo crítico con cota alta, no media)
• π = P(rechazar H0 | H0 falsa)

Si es negativo, se considera el signo: P(N(0,1) > t0) = pv = P(t(n) > t0).

Muestras apareadas: trabajar con el signo de D.

Regresión lineal

Correlación

Coeficiente de correlación muestral:

R = Σ(xi − x̄)(yi − ȳ) / √[Σ(xi − x̄)² · Σ(yi − ȳ)²]

El coeficiente de determinación es R² (sin cuadrado en el cálculo de R).

Interpretación del p-valor

• Si α > pv: se rechaza H0.
• Si α < pv: no se rechaza H0.
• pv > 0,1: no se rechaza H0.
• pv ≈ 0: se rechaza H0.
• 0,01 < pv < 0,1: duda razonable.

Desviación típica y varianza

• Desviación típica muestral: s = √[Σ(xi − x̄)² / (n − 1)]
• Varianza muestral: s² = Σ(xi − x̄)² / (n − 1)

Tablas de parámetros

ANOVA

• SST = SSR + SSE
• MSR = SSR / 1
• MSE = SSE / (n − 2)
• R² = SSR / SST = [cov(x,y) / (Sx · Sy)]²
• β1 = Sxy / Sxx
• Sxx = (n − 1) · Sx²
• Sxy = (n − 1) · cov(x,y)
• β0 = ȳ − β1 · x̄
• √Var(β1) = √(MSE / Sxx)
• Modelo: y = β0 + β1 · x + ε
• pv(ANOVA) = P(F(1, n−2) > MSR / MSE)
• pv(estimación) = P(t(n−2) > t0)

Contraste de significación

H0: β0 = 0; H1: β0 ≠ 0. Si algún p-valor es negativo, se toma el valor absoluto. Se recomienda dibujar los ejes e igualdad de y.

Contraste bilateral: pv = 2 · P(t(n−2) > t0)

Validación del modelo

• Linealidad: gráficos de residuos.
• Homogeneidad de varianzas: residuos estudentizados y predichos.
• Normalidad
• Independencia de errores
• Puntos influyentes: (−2, 2) al 95 %, (−3, 3) al 99 %.

Intervalos de predicción

y = β0 + β1 · x (sustituyendo el valor de x).

Descriptiva

Forma de la distribución

• Mediana: separa la gráfica por la mitad.
• Moda: punto más alto.
• Apuntalamiento o curtosis: 3 normal; > 3 punta.
• Asimetría (skewness): 0 normal; > 0 cola a la izquierda.

Tablas de frecuencias

Escala nominal:

Escala ordinal:

Fórmulas:

• ni = número de individuos
• fi = n1 / N
• Ni = n1 + ... + nk
• Fi = Ni / N

Tablas por intervalos: clases (ai−1, ai), marca de clase mi, frecuencia absoluta ni (si es intervalo, es posterior menos anterior), frecuencia absoluta acumulada y frecuencia relativa acumulada.

Marca de clase: mi = (ai−1 + ai) / 2

Tipificación y transformaciones

Variable tipificada

Z tiene media 0 y desviación típica 1: z = (x − x̄) / s(x).

• Mediana tipificada: Me(z) = (Me(x) − x̄) / s(x)
• Amplitud de cada intervalo tipificada: (ai − x̄) / s(x)

Transformaciones lineales

y = aX + b

• s²(y) = a² · s²(x)
• s(y) = |a| · s(x)
• Me(y) = a · Me(x) + b
• Mo(y) = a · Mo(x) + b