Rectas y Planos en el Espacio: Posiciones Relativas, Vectores Directores y Ecuaciones

Plano que contiene a 2 rectas que se cortan en un punto:

Se toman los vectores de las rectas y el punto de corte de ambas.

Plano que pasa por un punto y es paralelo a otros planos:

Se toma el vector normal y el punto.

Plano que pasa por un punto y es perpendicular a una recta:

Se forma el punto y el vector de la recta será el vector normal del plano.

Plano que pasa por un punto (x₀,y₀,z₀) y es perpendicular a otros 2 planos:

Vector n₃ = vector n₁ × vector n₂: n₃(x - x₀) + n₃(y - y₀) + n₃(z - z₀) = 0

Recta que pasa por un punto y es paralela a 2 planos:

El vector director de la recta será perpendicular a los vectores normales de los 2 planos a la vez, por lo tanto: v_r = n₁ × n₂ (todos vectores).

Recta que pasa por un punto, es paralela a un plano y es perpendicular a otra recta:

Ocurre igual que el caso anterior: será perpendicular a la vez, por tanto, v_r = n₁ × v_s (todos vectores).

Recta que pasa por un punto y es perpendicular a 2 rectas:

El vector de la recta buscada será el que obtengamos de: w = w × v (todos vectores).

Recta perpendicular a 2 rectas que se cruzan:

La recta s puede expresarse como intersección de 2 planos: 1: contiene a y ; al estar y los vectores directores (director de r) y v × v' (director de s), y 2 contiene a y : A' está en r' y los vectores directores v' (director de r') y v × v' (director de s).

Recta que pasa por un punto y corta perpendicularmente a otra recta:

Dada una recta : su vector será u(u₁,u₂,u₃). Para que una recta sea perpendicular a una dada, el vector u debe ser ortogonal al vector v de la recta que buscamos, es decir: u₁v₁ + u₂v₂ + u₃v₃ = 0.

Posición relativa de 2 rectas

Rectas definidas por un punto y un vector: 2 rectas definidas cada una por un punto y un vector (x₂ - x₁, u₁, v₂), (y₂ - y₁, u₁, v₂), (z₂ - z₁, u₁, v₂). Si det ≠ 0 y R = 3, se cruzan. Si det = 0, hay 2 posibilidades:

• v ≠ ku y R = 2: se cortan.
• v = ku: si AB ≠ λu y rango 2, son paralelas; si AB = λu y rango 1, coinciden.

2 rectas definidas por sus ecuaciones implícitas: Sean A (matriz de coeficientes) y A' (matriz ampliada). Si rango A = 3 y rango A' = 4, se cruzan; si rango A = 3 y rango A' = 3, se cortan; si rango A = 2 y rango A' = 3, son paralelas; si rango A = 2 y rango A' = 2, son coincidentes.

Posición relativa de 1 recta y un plano

Recta definida por un punto y un vector; plano (ax + by + cz + d = 0): recta: x = x₀ + λu₁; y = y₀ + λu₂; z = z₀ + λu₃. Sustituyendo: a(x₀ + u₁λ) + b(y₀ + u₂λ) + c(z₀ + u₃λ) + d ≠ 0 → recta y plano se cortan. Si es = 0 entonces ax₀ + by₀ + cz₀ + d = 0: recta contenida en el plano. Si ax₀ + by₀ + cz₀ + d ≠ 0, recta y plano son paralelos.

Recta definida por 2 planos secantes: recta (a₁x + b₁y + c₁z + d₁ = 0; a₂x + b₂y + c₂z + d₂ = 0) y plano (a₃x + b₃y + c₃z + d₃ = 0). Si rango A = 3 y rango A' = 3: sistema compatible determinado, planos secantes. Si rango A = 2 y rango A' = 3: sistema incompatible, paralelos. Si rango A = 2 y rango A' = 2: sistema compatible indeterminado, recta contenida en el plano.

Posición relativa de 3 planos

Planos: a₁x + b₁y + c₁z + d₁ = 0; a₂x + b₂y + c₂z + d₂ = 0; a₃x + b₃y + c₃z + d₃ = 0.

• Si rango A = 3 y rango A' = 3: sistema compatible determinado; los planos forman un triedro.
• Si rango A = 2 y rango A' = 3: sistema incompatible. Si 2 filas de A no son proporcionales, forman una superficie prismática triangular; si 2 filas de A son proporcionales, hay 2 planos paralelos y el tercero secante.
• Si rango A = 2 y rango A' = 2: sistema compatible indeterminado; los planos se cortan en una recta.
• Si rango A = 1 y rango A' = 2: sistema incompatible; 3 planos paralelos.
• Si rango A = 1 y rango A' = 1: sistema compatible indeterminado; los planos son coincidentes.