El punto cr es el centro radical del punto y de dos circunferencias de centros o1 y o2. Calcula el radio de esta última

INVERSIÓN

La inversión es una transformación geométrica en la que una Figura corresponde a otra donde se cumple que:

-Dos puntos inversos (A, A’) están alineados con un punto Fijo llamado centro de inversión (O).

-El producto de la distancia de un punto al centro de Inversión por la distancia de su inverso al centro de inversión es constante (K), y se llama potencia de inversión.

Con esto decimos que OA·OA’ = OB·OB’ = OT·OT = K

Entre las carácterísticas vemos:

-Dos pares de puntos inversos o alineados forman siempre una circunferencia.

-Dados los puntos A, B y sus inversos A’, B’, las rectas A-A’ y B-B’ son antiparalelas de las rectas A-B y A’-B’.

-Si K>0, la inversión es positiva. Si k<0, es negativa Y en este último caso la inversión no tiene puntos dobles.

Una inversión se puede determinar de 3 maneras diferentes:

-Dado el centro de inversión y un par de puntos inversos. Con un centro de inversión y los puntos A, A’ (inversos), se determina el punto Inverso de B.

Se dibuja una circunferencia que pasa por A,A’ y B, se Trazan las mediatrices de los segmentos A-A’ y A-B. El punto de intersección es El centro de la circunferencia que buscamos. Se une B con el centro de Inversión y se obtiene B’.

-Dado el centro de inversión y la potencia de inversión, con Esto se determina el punto inverso de A.

Para este primero se dibuja un circunferencia de radio OT Con centro de inversión. Siendo la circunferencia de radio OT con centro en el Centro de inversión. Siendo la circunferencia de puntos dobles. Se toma un Punto (T) de la circunferencia (aleatorio). Se dibuja la mediatriz del segmento A-T y la tangente a la circunferencia por T. Se encuentra el centro C, de una Circunferencia de radio C-T, que contiene el inverso de A. Se une O con A para Encontrarlo.

-Dados dos pares de puntos inversos no alineados, a partir De esto se determina el punto inverso de D.

En las intersecciones de las rectas A-A’ con B-B’ se Encuentra el centro de inversión. Después se dibuja la circunferencia que pasa Por los puntos A, A’ y D. Se une O con D y se obtiene D’ sobre dicha Circunferencia.

En la intersección de las rectas A-A’ con B-B’ se encuentran El centro de inversión. Dibuja la circunferencia que pasa por los puntos A, A’ Y D. Une O con D y obtendrás D’ sobre dicha circunferencia.

TANGENCIAS

Las tangencias son trazados geométricos presentes en Numerosos diseños, estructuras arquitectónicas e infinidad de formas Decorativas y objetos de uso común. Las propiedades fundamentales de las Tangencias son dos: La primera hace referencia a que si una recta es tangente a Una circunferencia, el radio en el punto de tangencia es perpendicular a la Recta.

La segunda propiedad se refiere a que si dos circunferencias Son tangentes, sus centros están alineados con el punto de tangencia.

El eje radical es el lugar geométrico de los puntos del plano que tienen la misma potencia respeto de las dos circunferencias.

Para resolver problemas de tangencias complejos se recurre a La aplicación de potencia e inversión.

Además, se llama enlace a la uníón de dos rectas o de una Curva ente sí, por medio de su punto de tangencias.

Dadas tres circunferencias de centros O1, O2 y O3, se llama Centro radical al punto C.

El centro radical es el punto de intersección de los ejes Radicales de las circunferencias tomadas de dos en dos. Los centros de las Circunferencias estarán alineados.

CURVAS CÓNICAS

Se denominan curvas Cónicas a las diversas secciones producidas en una superficie cónica, de Revolución, por un plano que no pasa por el vértice. Los elementos que podemos Encontrar son: Eje de simetría:
rectas Imaginarias en relación a las cuales una figura es simétrica. Centro:
Puntos de corte de los ejes de Simetría. Focos:
puntos notables a Partir de las cuales se forma la cónica. Directrices:
Son las rectas de intersección del plano secante con el plano que contiene a la Circunferencia de contacto entre el cono y la esfera. Excentricidad:
Distancia desde un punto P cualquiera respeto del foco del eje x y directriz.

Elipse:
La elipse es una curva cerrada y plana, la suma de F1P y F2P es igual a la Magnitud del eje mayor V1V2. Las elipses se pueden hacer mediante puntos o Afinidad y los puntos se unen a mano o con plantilla de curvas. Hay varios Métodos para dibujar una elipse, los más usuales es por puntos o afinidad. La Elipse se obtiene mediante la obtención de puntos que luego se unen a mano Alzada o con plantilla de curvas. Para la formación de este se hace mediante Dos puntos (A y B) y dos focos (f y f’)

Hipérbola:
Es una curva plana, abierta, con dos ramas que se definen como el lugar Geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a otros dos Fijos F1 y F2 llamados focos, es constante e igual a la dimensión del eje real V1V2. Las propiedades fundamentales son: simetría:
Tiene dos ejes perpendiculares entre sí, se cortan en el punto 0. Ejes:
El eje que pasa por los vértices V1 y V2 de la curva se llama eje real y vale 2ª el perpendicular al punto 0 es Un eje imaginario o virtual.

Parábola:
La parábola es una curva plana, abierta y de una sola rama que se define Como lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo F, llamado foco y de una recta fija, llamada directriz. Las propiedades Fundamentales son: Eje:
La parábola Tiene un eje perpendicular a la directriz, contiene al F y al vértice V. Vértice:
Se encuentra en el eje y es el Punto medio del segmento OF. Para la construcción de una parábola puede ser Mediante puntos, igual que en la hipérbole o parábola

HOMOLOGÍA Y AFINIDAD

Dos figuras planas son homográficas cuando se corresponden punto a punto y Recta a recta de modo que a cada punto y recta de una figura le corresponde un Punto y una recta de la otra. Dos secciones de una misma radiación son homológicas Si se cumple que los puntos homólogos están alineados con uno llamado centro de Homología o las rectas homólogas se cortan en puntos de una recta llamada eje De homología.

Existen 2 tipos de Homología:

-Homología directa: se da cuando un punto y su homólogo se encuentran en diferentes Lados del Eje.

-Homología inversa: se da cuando un punto y su homólogo se encuentran al mismo Lado del Eje.

Una homología queda determinada dando:

-El centro, el eje y un par de puntos homólogos.

-El centro, el eje y un par de rectas homólogas.

-Tres puntos no alineados y sus homólogos. Los puntos homólogos estarán alineados Con el centro de homología y las rectas homólogas que los unen se cortarán en El eje de homología.

La recta límite es el lugar geométrico de los puntos cuyos homólogos están En el infinito. El conocimiento de una recta límite equivale al de dos rectas Homólogas. Por tanto, una homología queda definida dando el centro, el eje y Una recta límite. La afinidad es una transformación geométrica, en el que el Centro de afinidad se encuentra en el infinito.

Los elementos que intervienen en la afinidad son los eje de afinidad y un Par de puntos afines.

Para evitar confundirlo con la Homología, es que la Afinidad se caracteriza Por una dirección, es decir, que los puntos afines se encuentran sobre rectas Paralelas unas a otras. Se puede entender que en la afinidad, el vértice se encuentra En el infinito y, por ello, se le considera un caso particular de homología.

SISTEMA DIÉDRICO

El sistema diédrico es un Sistema de representación geométrica de la reducción de las tres dimensiones Del espacio a las dos dimensiones del plano, utilizando una proyección Ortogonal sobre dos planos que se cortan perpendicularmente.

Para sus pertenencias, Sabemos que un punto pertenece a una recta si tiene sus proyecciones sobre las Proyecciones de la recta. Además, una recta pertenece al plano si tiene sus Trazas del plano. También el punto pertenece al plano si pertenece a una recta Y a su vez pertenece al plano.

En el paralelismo, si dos Rectas son paralelas sus proyecciones también lo son. Si dos planos son Paralelos tienen sus trazas paralelas. También en el paralelismo recta-plano, Para que una recta sea paralela a un plano basta que se paralela a una recta de Ese plano.

Para la perpendicularidad Entre recta-plano las proyecciones de la recta son perpendiculares a las trazas Del plano. Entre plano-plano, uno de ellos contiene una recta perpendicular al Otro. Entre recta-recta, una recta estará contenida en un plano perpendicular Al otro.

Al dibujar en alzado y Planta cualquier objeto, se comprueba cómo diferentes elementos, no se aprecian En su verdadera forma y tamaño. La proyección diédrica de un segmento sobre un Plano paralelo a él es de verdadera magnitud. Se pueden encontrar varios Métodos, como el de cota o alejamientos relativos entre sus extremos, además Encontramos una vista auxiliar, abatimientos.

En este último Distinguimos con un abatimiento de forma plana, entre la proyección horizontal de Una figura y el abatimiento de la misma sobre el plano horizontal, donde existe Una relación proyectiva de afinidad ortogonal

SISTEMA AXONOMÉTRICO

Es un sistema de representación donde el cuerpo a Representar se refiere a un triedro, con las coordenadas de 3 ejes ortogonales; X, y, z. Denominados ejes principales, coincidentes con las dimensiones del Cuerpo: anchura,, altura y profundidad. Este triedro se apoya en el plano de Proyección o plano de cuadro, sobre el que se proyectan ortogonalmente los Ejes. Las proyecciones de los ejes forman entre los ángulos alfa, beta y gamma, Donde la suma hacen 360º.

La representación sonométrica se consigue colocando el plano De proyección coincidiendo con la hoja de papel. Tipos de axonometría; Isométrica, dimétrica y trimétrica. Si sobre un eje colocamos un punto y lo Proyectamos sobre el plano del cuadro, la longitud del segmento que se produce Sobre el plano es ligeramente menor que la real. El coeficiente de reducción es La relación que hay entre la medida reducida y la medida real.

PERSPECTIVA CABALLERA

Se puede considerar un caso particular de axonométrico por El hecho que poseen los mismos puntos de partida, la diferencia es que en Axonométrico la proyección es ortogonal y en caballera es oblicua.

El coeficiente de reducción se determina en función del ángulo que forma la proyección en el eje Y e que se tienen que definir en todos Los ejercicios. Los valores más normales son alfa 45º y c=0.5.

Hay dos tipos de perspectiva, la frontal y planimétrica. La Posición sitúa un eje perpendicular al plano del cuadrado y los otros dos Paralelos a él.

UTILIZACIÓN DEL ORDENADOR

En el mundo informático actual encontramos dos tipos de Imágenes digitales, estas son:

-La mas antigua es la imagen por bits, o bits mapas, Representan una imagen punto a punto siguiendo un orden de filas y columnas Formando un mapa de bits. A cada punto se le asigna un color. Cuando se amplia O se reduce la imagen original, el tamaño de los píxeles aumentan o disminuyen, Empeorado la calidad.

-Más actual encontramos los gráficos vectoriales, se dibujan Mediante ecuaciones matemáticas. Las imágenes se pueden manipular sin perder Calidad aunque más difícil es de usar. No se pierde calidad. Entre los muchos Programas destacamos a Gimp, el cual se sitúa en el top número 1.

En el dibujo por ordenador se puede distinguir elementos:

-Entidades: Líneas, arcos, circunferencias, elipses etc.

-Atributos: Cada entidad tiene atributos, el tipo de línea, El grosor, etc.

-Capas: Una capa es el conjunto de entidades, con los mismos Atributos, se emplea una capa encima de la otra.

-Bloques: Son los grupos de entidades que se pueden insertar En el dibujo.