Proyecciones cartográficas: fórmulas y propiedades de las proyecciones oblicuas, estereográficas, gnomónicas, ortográficas, cilíndricas, cónicas y transversas

Proyecciones cartográficas: fórmulas y propiedades

1. Proyección escenográfica oblicua

[[XY]]. Escenográfica oblicua:

x = ((D+R)·sen A_land·cos φ) / ((D/R) + sen φ·sen φ₀ + cos φ·cos φ₀·cos A_land)

y = ((D+R)·sen φ·sen φ₀ − cos φ·sen φ₀·cos A_land) / ((D/R) + sen φ·sen φ₀ + cos φ·cos φ₀·cos A_land)

2. Proyección estereográfica oblicua

Estereográfica oblicua (D = R):

x = (2R·sen A_land·cos φ) / (1 + sen φ·sen φ₀ + cos φ·cos φ₀·cos A_land)

y = (2R·(sen φ·cos φ₀ − cos φ·sen φ₀·cos A_land)) / (1 + sen φ·sen φ₀ + cos φ·cos φ₀·cos A_land)

3. Proyección gnomónica oblicua

Gnomónica oblicua (D = 0):

x = (R·sen A_land·cos φ) / (sen φ·sen φ₀ + cos φ·cos φ₀·cos A_land)

y = (R·(sen φ·cos φ₀ − cos φ·sen φ₀·cos A_land)) / (sen φ·sen φ₀ + cos φ·cos φ₀·cos A_land)

4. Proyección ortográfica oblicua

Ortográfica oblicua (d = ∞):

x = R·cos φ·sen A_land

y = R·(cos φ·cos φ₀·... ) — R·cos(sen φ·cos φ₀ − cos φ·sen φ₀·cos A_land)

5. Proyecciones cilíndricas

• Cilíndrica directa equidistante: x = R·A_land; y = R·φ.
• Cilíndrica directa equivalente de Lambert: x = R·A_land; y = R·sen φ = R·Y.
• Cilíndrica directa conforme de Mercator: x = R·A_land; y = R·ψ = R·Ln(tg(φ/2 + π/4)).

6. Proyección cónica

Cónicas: x = ρ_p·sen θ; y = ρ₀ − ρ_p·cos θ.

7. Propiedades de las proyecciones

7.1 Estereográfica

• Conforme.
• Oblicua: los meridianos y paralelos son arcos de circunferencia; los meridianos centrales y paralelos son rectas.
• Polar: meridianos rectos, paralelos circunferencias concéntricas; conforme (UTM conforme), constante k₁ en paralelos, deformación crece con la latitud.
• Ecuatorial: meridianos y paralelos son arcos de circunferencia; meridiano central y ecuador rectos.

7.2 Gnomónica (D = 0)

• No conforme, no equivalente.
• Oblicua: utilizada en navegación aérea; meridianos concurrentes en un punto; ecuador y círculos máximos rectos; paralelos parábolas, elipses o hipérbolas.
• Polar: círculos máximos rectos, paralelos circunferencias; deformación crece con la latitud.
• Ecuatorial: ecuador recto, meridianos rectos, paralelos hipérbolas.

7.3 Ortográfica

• No conforme, no equivalente.
• Oblicua: meridianos y paralelos elipses; meridiano central recto.
• Polar: meridianos rectos, paralelos circunferencias; radio con φ sin deformación lineal.
• Ecuatorial: meridianos elipses, paralelos rectas.

7.4 Cilíndrica directa

• Con latitud positiva, la deformación aumenta; meridianos y paralelos rectos; ecuador automecoico.
• Equidistante: no conforme, no equivalente; simétrica respecto al meridiano y al ecuador; meridianos y paralelos perpendiculares; paralelos isométricos; conserva distancias a lo largo del ecuador; módulo de deformación lineal = 1 en paralelos fundamentales.
• Equivalente de Lambert: equivalente, no conforme, no equidistante; ecuador automecoico; semieje mayor de Tissot en dirección de los paralelos.
• Conforme de Mercator: conforme, no equivalente, no equidistante; utilizada en navegación; las loxodrómicas son líneas rectas.

7.5 Cilíndrica transversa

• Equivalente de Lambert: no conforme, no equidistante.
• Mercator (UTM): conforme, no equivalente, no equidistante; deformación aumenta con la longitud; meridianos y paralelos perpendiculares; factor de escala en un punto igual en cualquier dirección; conserva escalas a lo largo del meridiano central (automecoica); simétrica respecto al meridiano central; módulo de deformación angular 0.

7.6 Cónica

• Cono tangente a un paralelo (automecoica); meridianos rectos concurrentes en un punto; paralelos circunferencias concéntricas; Tissot secante a dos paralelos.
• Conforme de Lambert: conforme.
• Equivalente de Albers: equivalente.

8. Otros conceptos

• Automecoica: no deforma lineales.
• Loxodrómica: recta corta con ángulos constantes respecto a los meridianos.
• Isométrica: deformación constante.
• Áulica: cónicas equivalentes.
• φ > φ > ψ: isométricas, geodésicas y áulicas.
• Azimut astro-UTM: cuerda y arco de convergencia.
• Azimut geodésico-cartográfico: convergencia.
• Distancia UTM × denominador de escala / k₁.
• F' = 0: máximos y mínimos de deformación.
• Módulo de deformación lineal en dirección de los paralelos: √(G/r²).