Estudio completo de funciones: continuidad, derivabilidad y representación gráfica

Resumen

El documento resume el procedimiento para estudiar una función: comprobar la continuidad y la derivabilidad en un punto, hallar crecimiento, decrecimiento y extremos, optimizar beneficios, calcular parámetros y determinar dominio, cortes con los ejes, simetrías, asíntotas, curvatura y puntos de inflexión. Está pensado como guía rápida para representar gráficamente una función.

Puntos clave

Continuidad: se calculan los límites laterales por la derecha y por la izquierda en el punto; si coinciden, la función es continua.
Derivabilidad: se derivan las funciones, se calculan los límites laterales de las derivadas y, si coinciden, la función es derivable.
Crecimiento y decrecimiento: se deriva, se igualan a cero los valores de x (extremos relativos) y se estudia el signo de f' en los intervalos.
Máximos y mínimos: se sustituye el valor crítico en f; la segunda derivada indica máximo si es menor que 0 y mínimo si es mayor que 0.
Asíntotas verticales: aparecen en x = a si el límite de f cuando x tiende a a es infinito; asíntotas horizontales: y = b si el límite en infinito es b.
Concavidad: si f'' es mayor que 0 la función es cóncava y si es menor que 0 es convexa; los puntos de inflexión anulan f'' y la tercera derivada en ese punto es distinta de 0.

Ponte a prueba

para la continuidad de hace f(x) en todos los puntos,desues los limitespor la derecha e izquierda,si coinciden es continua,si hay una ncognita se resuelve,si hay dos incógnitas se hace un sistema con la de derivabilidad.
Para la derivabilidad se derivan las funciones,después se hacen los limites de las derivadas en los puntos x la dcha e izda,si coinciden es derivable,si hay una incógnita se resuelve,si hay dos se hace un sistema con el de continuidad. ///crecimiento y decrecimiento:se deriva la función,se resuelve x,los valores serán los extremos relativos,se hace f(x) del valor diferente a 0 y se observa el signo. /// beneficio max: se hace la derivada de f(x9,se sustitue el resultado en la función sin derivar,se comprueba si es max o min con la segunda derivada,si es <0 es="" max="" si="" es="">0 es min. /// averiguar parámetros: se plantea la ecuación,si pasa por un punto (a,b)=f(a)=b,si tiene tg(a,b)=f(a)=b,y se hace un sistma con los datos y se resuelve. /// dom(valores para los q f esta definida);

Puntos de corte

Eje X(y=0 y despejar), eje y(x=o y resolver); signo de f(x) se anotan los valores fuera del dominio y puntos de corte y se mira si son <0(-) o="">0(+);simetrías: par (f(-x)=f(x)) impar(f(-x)=-f(x)) asintotas vertical si limde f cuando tiende a un valor fuera del dom es +- inf hay AV en x=a. Horizontal si el lim de f cuando tiende a +- inf es = b hay una AH en y=b, crec y decr;
concavidad cuando el sino de la segunda derivada es >0 es cóncava si es <0 es convexa,punts d inflexión,,,tienen que anular la seguda derivadasi la 3 derivada de un pto es diferente a 0 hay un punto de infl en ese pto. Es="" convexa,punts="" d="" inflexión,,,tienen="" que="" anular="" la="" seguda="" derivadasi="" la="" 3="" derivada="" de="" un="" pto="" es="" diferente="" a="" 0="" hay="" un="" punto="" de="" infl="" en="" ese="">0 es convexa,punts d inflexión,,,tienen que anular la seguda derivadasi la 3 derivada de un pto es diferente a 0 hay un punto de infl en ese pto.>0(-)>0>

Preguntas frecuentes

¿Cómo se comprueba si una función es continua en un punto?

Se calculan los límites laterales por la derecha y por la izquierda en ese punto. Si ambos coinciden, la función es continua en él.

¿Cómo se determina si una función tiene un máximo o un mínimo?

Se sustituye el valor crítico en la función y se evalúa la segunda derivada en ese punto. Si es menor que 0 es un máximo y si es mayor que 0 es un mínimo.

¿Cuándo hay un punto de inflexión?

Cuando la segunda derivada se anula en un punto y la tercera derivada en ese punto es distinta de 0.