Proyección Cónica Conforme de Lambert: Fundamentos Matemáticos, Esfera y Elipsoide

Proyecciones Cónicas

El desarrollo cónico considera una figura auxiliar (cono) tangente o secante a la esfera o al elipsoide para transformarse posteriormente en un plano desarrollable. En los desarrollos cónicos directos, el cono es tangente o secante a dos paralelos fundamentales o estándar (utilizando el artificio de Tissot).

• Los meridianos son líneas rectas concurrentes en un punto común, formando ángulos iguales entre sí.
• Los paralelos son arcos de circunferencias concéntricas.
• Los meridianos y paralelos se cortan perpendicularmente formando ángulos rectos (90°).
• Las distancias medidas a lo largo del paralelo de tangencia (o de los paralelos secantes) no sufren distorsión. Por ello, constituye una excelente proyección para representar latitudes medias.

Desarrollo Cónico Conforme de Lambert

1. Caso Esférico

Coordenadas Planas

Las ecuaciones de proyección en coordenadas planas son:

• x = r_p · sen(γ)
• y = r_p - r₀ · cos(γ)

Donde:

• γ = Δλ · sen(φ₀)
• u = sen(φ₀)
• r₀ = cot(φ₀) · R

Condición de Conformidad

Para asegurar la conformidad, el factor de escala en el meridiano debe ser igual al factor de escala en el paralelo (k_1m = k_1p):

√(E') / R = √(G') / (R · cos φ)

Elementos Diferenciales

Sobre la esfera:

• ds_m = R · dφ = R · dθ
• ds_p = R · cos(φ) · dλ = R · cos(90° - θ₀) · dλ = R · sen(θ₀) · dλ

Sobre el plano:

• ds'_m = dr_p
• ds'_p = r_p · sen(φ₀) · dλ

Por consiguiente, los módulos de deformación lineal son:

• k_1m = ds'_m / ds_m = dr_p / (R · dθ)
• k_1p = ds'_p / ds_p = (r_p · sen φ₀) / (R · sen θ₀) = (r_p · u) / (R · sen θ₀)

Igualando k_1m = k_1p, se obtiene la ecuación diferencial:

dr_p / r_p = u · (dθ / sen θ)

Cálculo del Radio Polar (r_p)

A) En función de la colatitud (θ₀):

Integrando la ecuación diferencial: ∫(dr_p / r_p) = u · ∫(dθ / sen θ) ⇒ ln(r_p) = u · [ln(tan(θ₀ / 2)) + ln C] ⇒ r_p = C · [tan(θ₀ / 2)]^u.

Para calcular la constante C particularizada en el ecuador:

• r_p = r_e
• φ₀ = 0° ⇒ θ = 90° - φ = 90° = π/2
• u = sen(φ₀) = 0
• r_e = C · [tan((π/2) / 2)]^u = C ⇒ r_e = C

B) En función de la latitud creciente de Mercator o isométrica (ψ):

• dψ = (1 / cos φ) · dφ
• dθ / sen θ = -dφ / cos φ = -dψ
• -ψ = -∫(1 / cos φ) · dφ = ln[tan(-(φ / 2) + (π / 4))] = ln[tan(θ₀ / 2)]
• ∫(dr_p / r_p) = ln(r_p) = u · [ln(tan(θ₀ / 2)) + ln C] ⇒ r_p = C · e^-uψ

Comprobación de las Condiciones de Conformidad

A partir de las derivadas parciales:

• f(φ) = -sen(γ) · sen(φ₀) · r_p · (1 / cos φ)
• f(λ) = r_p · cos(φ) · sen(φ₀)
• g(φ) = -cos(γ) · sen(φ₀) · r_p · (1 / cos φ)
• g(λ) = r_p · sen(γ) · sen(φ₀)

Se evalúan los coeficientes de la primera forma fundamental de Gauss sobre el plano:

• E' = f(φ)² + g(φ)² = sen²(φ₀) · r_p² · (1 / cos² φ)
• F' = f(φ) · f(λ) + g(φ) · g(λ) = 0
• G' = f(λ)² + g(λ)² = sen²(φ₀) · r_p²

Al ser F' = 0 y cumplirse que E' / R² = G' / (R² · cos² φ) (lo que implica que los semiejes de la elipse indicatriz son iguales, a = b), se satisface la primera condición de conformidad. La transformación de meridianos y paralelos forma 90° y las deformaciones máxima y mínima se sitúan en las direcciones de los meridianos y paralelos.

Estudio de la Deformación Lineal (Artificio de Tissot)

• Módulo de deformación lineal: k₁ = ds' / ds = (r_p · sen φ₀) / (R · cos φ). Es constante para todos los paralelos y solo depende de la latitud.
• Módulo de deformación superficial: k₂ = a · b = (r_p² · sen² φ₀) / (R² · cos² φ). Los puntos más alejados del paralelo fundamental presentan una mayor deformación.

2. Caso Elipsoídico

Condición de Conformidad

Se establece del mismo modo la equivalencia de factores de escala: k_1m = k_1p.

Elementos Diferenciales sobre el Elipsoide

• ds_m = ρ · dφ = ρ · dθ
• ds_p = N · cos(φ) · dλ = N · sen(θ₀) · dλ

Donde los radios de curvatura principal son:

• Radio de curvatura del meridiano: ρ = [a · (1 - e²)] / (1 - e² · sen² φ)^3/2
• Gran normal: N = a / (1 - e² · sen² φ)^1/2

Elementos Diferenciales sobre el Plano

• ds'_m = dr_p
• ds'_p = r_p · dγ = r_p · sen(φ₀) · dλ = r_p · u · dλ

Cálculo del Radio Polar (r_p)

A) En función de la colatitud (θ₀):

r_p = C · [((1 + e · cos θ) / (1 - e · cos θ))^e/2 · tan(θ / 2)]^u

B) En función de la latitud creciente:

r_p = C · e^-uψ

C) Particularización de la constante en el ecuador:

• r_p1 = r_e
• φ = 0° ⇒ θ = 90° - φ = π/2
• u = sen φ = cos θ = 0 ⇒ r_e = C
• r_p = r_e · e^-uψ
• r_p = r_e · [((1 + e · cos θ) / (1 - e · cos θ))^e/2 · tan(θ / 2)]^u

Comprobación de Condiciones de Conformidad

El procedimiento es análogo al caso esférico con la sustitución geométrica correspondiente: 1 / cos φ se relaciona con el cociente de curvatura ρ / N; se recalcula E' sustituyendo por ρ² / N² y omitiendo el término esférico E' / R².

Estudio de la Deformación Lineal (Tissot)

Al igual que en la esfera, el módulo de deformación lineal k₁ depende exclusivamente de la latitud y permanece constante a lo largo de cada paralelo.