Proporcionalidad y Semejanza: Conceptos Fundamentales de Geometría

Proporcionalidad de segmentos

Se define la razón de los segmentos AB y A'B' como el número k por el que hay que multiplicar la longitud del segundo segmento para obtener la del primero: AB / A'B' = k.

Los segmentos AB, CD, EF, ... son proporcionales a sus correspondientes (primas) si:

• Cada uno de los primeros tiene su correspondiente en los segundos.
• Las razones entre los segmentos correspondientes son iguales.

Teorema: Si varias paralelas son cortadas por dos secantes, a segmentos iguales entre sí de una de estas corresponden segmentos iguales entre sí de la otra.

Teorema de Thales

Si tres o más paralelas son cortadas por dos secantes m y m', los segmentos determinados por los puntos de intersección sobre una de ellas son proporcionales a los determinados por los puntos correspondientes en la otra (A'B' / AB = k; B'C' / BC = k...).

Propiedades y aplicaciones

• a) La razón entre dos segmentos de m es igual a la razón entre los segmentos correspondientes en m': A'B' / AB = B'C' / BC.
• b) Toda paralela a un lado de un triángulo determina sobre los otros dos, o sus prolongaciones, segmentos proporcionales: AB / AD = AC / AE...

Aplicación: Se desea dividir AB en 5 partes. Para ello, se traza una semirrecta cualquiera de origen A. Sobre ella se trazan 5 segmentos consecutivos iguales (longitud arbitraria). Sea M el extremo. Se une M con B y se trazan paralelas al segmento MB por cada punto de división del segmento AM.

Semejanza de triángulos

Dos triángulos T y T' son semejantes si es posible establecer una correspondencia entre sus vértices de manera que:

• Los ángulos correspondientes sean congruentes (iguales).
• Los lados correspondientes sean proporcionales (pero no necesariamente iguales).

Criterios de semejanza

• LAL: Si un ángulo es igual y los lados que lo forman son proporcionales.
• AA: Si tienen dos ángulos iguales.
• LLL: Si tienen tres lados correspondientes proporcionales.

Recíproco: Si una recta corta a dos lados de un triángulo determinando segmentos proporcionales a ellos, es paralela al tercer lado.

Observación: Dos triángulos están en posición de Thales si tienen un vértice común, el ángulo en dicho vértice congruente y los lados opuestos a este vértice paralelos.

Polígonos semejantes

Dos polígonos P y P' son semejantes si existe una correspondencia entre sus vértices de manera que los ángulos correspondientes sean congruentes y los lados correspondientes sean proporcionales.