Propiedades de las Series y Transformadas de Fourier: FS, DTFS, DTFT y FT
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Propiedades del FS spc Propiedades del DTFS
!.
Linealidad
X1t--FS-> Ak 1,2,3= x2t--FS->Bk
y(t)=Ax1t+Bx2t--FS->Ck=Aak+Bbk 5.Multiplicación
x(t)-->Ak x(t)*y(t)=Akconv*Bk
y(t)-->Bk
2.Desplazamientos 6.
Parseval
x(t)---FS---> Ak 1/n0Z|x[n]|^2=Z|Ak|^2
x(t-t0)----FS--->bk= Ak*e-jkwt 7.1ª diferencia y suma
x[n]-x[n-1]--> (1-e^-jkwn)*Ak
3.Simetrías:
Inversión x(t)--> Ak
x*(t)-->A-k Propiedades del DTFT
Conjugación
x(t)--> Ak 1Linealidad
x(t)--> A-*k 2.Desplazamientos
en `t` x[n-no]--->e^-jwn0.X(ejw)
4.Desviación e integración en ´w´ ejwn.X[n]<------X(ej(w-w0))
x(t)-->Ak
dx(t)/dt= bk= jkwAk Primera dif. Y suma acum
Sx(t)-->bk=Ak/jkw x[n]-x[n-1]--->(1-e-jw)X(ejw)
y[n]=Z<8>x`k]--->X(ejw)/1-e-jw
5.Multiplicación
x(t)-->Ak x(t)*y(t)=Ak*Bk Parseval
y(t)-->Bk Z<8>|x[n]^"=1/2piS<2pi>X|(ejw)|^2
Parseval
x(t)-->Ak Convoluciony[n]=x[n]*h[n]--->
x*(t)--> bk=A*-k x(t)*x*(t)-->Ck Y(ejw)=X(ejw).H(ejw)
Ck= ZAr*Bk-r=ZAr*A*r-k|otra parte| Multiplicacióny[n]=x[n].H[n]-->
Y(ejw)=1/2pi.X(ejw)*H(ejw)
Ck= 1/t0S [xt*x*t]*e-jkwt=
1/t0S<t0>|x(t)|^2*e.Jkwt
Igualando las dos__> 1/toS |Ar*e^jkwt|^2
= |Ar|^2
FOURIER LTI
-x(t)--LTI/H(jw)--> y(t) ---FS-->bk=Ak*H(jw)
-x[n]--LTI/H(e^jw)--> y(n)---DTFS-->Bk=Ak*H(e^jw)
Propiedades de la FT
2.Desplazamiento x(t-t0)--FT-->X`(jw) = e^-jwt*X(jw)
X(j(w-w0))<___FT^-1--e^jwt*x(t)
3Simetrias igual
4.Diferenciación e integración
dx(t)/dt-->jwX(jw)
-jtx(t)<----dX(jw)/dw
S<-8-t>x(t)dt--->X´(jw)=X(jw)/jw
5.Dualidad x(t)---FT-->X(jw)| X(jw)=2piZAk*d(w-kw0)
X(jt)---> 2pit(-w) |
6.Parseval
S<8>|x(t)|^2dt= 1/2piS |X(jw)|^2dw
FT LTI
Convolucion y(t)=x(t)*h(t)---FT--> Y(jw)=X(jw).H(jw)
Multiplicación r(t)=p(t).S(t)--FT--> R(jw)=1/2pi.P(jw)*S(jw)