Propiedades de la media aritmética demostración

Tema 1

La Estadística es la disciplina que nos proporciona una metodología para recoger, organizar, resumir, analizar datos y hacer inferencias a partir de ellos.: “La estadística descriptiva es un método de descripción numérica de conjuntos numerosos.

ESTADÍSTICA:

“Estudio de los métodos de recogida y descripción de datos, así como del análisis de esta información”

Población:

“Conjunto de elementos a los que se les estudia una carácterística”

Individuo:

“Cada uno de los elementos de la población”

Muestra:

“Subconjunto representativo de la población”

Podemos aceptar el método de trabajo establecido por FISHER en la estadística actual, que es el siguiente. 1. Formulación del objetivo. 2. Selección de las variables relevantes. 3. Recogida de datos, clasificación y tabulación 4. Representación gráfica. 5. Síntesis y análisis de la información. 6. Interpretación de resultados y conclusiones. Primera etapa: Definición de los objetivos del estudio. Segunda etapa: Elaboración de los datos. Tercera etapa: Utilización de los datos, la interpretación y la toma de conclusiones, y, por último, la predicción o estudio de la evolución del fenómeno que se investiga, básica para la planificación.

Variable estadística (v.E.):

”Carácterística propia del individuo objeto del estudio estadístico” Modalidad:
“Cada una de las posibilidades o estados diferentes de una variable estadística”

Exhaustivas e incompatibles

Ejemplos: Estatura, Ejemplo: Color del pelo

Se define la distribución de frecuencias como el conjunto de valores o modalidades que toma una variable estadística, con sus correspondientes frecuencias. A.- Distribución de frecuencias de una variable estadísticas de tipo discreto. En la tabla aparecerán los valores de la variable junto a sus frecuencias. B.- Distribución de frecuencias de una variable estadísticas de tipo continuo. Las modalidades agrupadas en intervalos: ¿Número de Intervalos?. No hay regla fija: Ni pocos nimuchos. Termino medio: n. ¿Cómo fijar los intervalos?. Se determina la diferencia entre el mayor y el menor valor, y se divide en clases indicando el extremo inferior y el extremo superior. Definir perfectamente los intervalos: Los intervalos deben ser exhaustivos e incompatibles. ¿Qué anchura deben tener los intervalos?. No regla fija, se pretende que sea constante e igual para todos. Rec/ n. Para el cálculo analítico se define su punto medio.

Tema 3

Carácterísticas de Posición

Las medidas estadísticas de tendencia central son números que intentan representar

el total de datos mediante un solo valor numérico que lo centraliza, tratando de

resumir y sintetizar la distribución de frecuencias.

Medidas de tendencia central

Medidas de tendencia no central

Medidas de Posición Central

Media aritmética:

Se define como la suma de los datos observados

ponderados por sus frecuencias relativas

Propiedades de la Media Aritmética:

1.- Cumple las Propiedades 1, 2, 3, 4, 5, 6 de Yule

2.- Suma de las desviaciones de un conjunto de observaciones respecto a su media, es

igual a cero

3.- El valor de la media puede verse muy afectado por unas pocas observaciones cuyo

valor sea muy diferente de los demás.

Media aritmética

Ejemplo:

Sueldos: 10.200, 10.400, 10.700, 11.200, 11.300, 11.500, 200.000

Sueldo medio es 37.900. Un solo valor atípico“arrastra” la media hacia arriba.

Media de los seis otros valores: 10.883

El valor de la media puede no ser representativo del conjunto de los valores,

especialmente en poblaciones o muestras pequeñas, cuando una es muy diferente de

las otras.

4.- Si un conjunto de valores se puede descomponer en dos o mas subconjuntos

disjuntos, la media aritmética de todo el conjunto se relaciona con las medias

aritméticas de los diferentes subconjuntos disjuntos.

5.- La media de las cuadrados de las desviaciones a la media es mínima

6.- La media conserva las transformaciones lineales. Invariante frente a cambios de

origen y escala.

tema4

Las Medidas de dispersión miden la desviación o espaciamiento de los datos de una distribución, es decir evalúa en qué medida la variable toma valores próximos, o por el contrario, presenta valores muy distantes.

Ø suelen tomarse como medidas de referencia las medidas de tendencia central.

- Medidas de Dispersión Absolutas.

- Medidas de Dispersión Relativas.

Ø Las M.D.A miden la variabilidad en la misma unidad de la v.E.

Ø Las M.D.R. Son valores sin dimensión por ser cocientes de magnitudes medidas en la misma magnitud, pudiendo comparar la variabilidad de distintas muestras

Ø La desviación absoluta media respecto a “a” como la media aritmética de las desviaciones en valor absoluto entre los valores de la variable y “a”.

Tipificación de una variable estadística. Aplicaciones.

Dada una v.E. X con media y desviación típica, se define como v.E. Tipifica la que se obtiene restándole la media y dividíéndola por la desviación típica. Esta variable se caracteriza por tener media 0 y desviación típica 1.

Momentos: Momentos no centrales y momentos centrales

Los momentos son unos valores construidos a partir de la distribución de frecuencias que resumen la información en relación a algún aspecto o propiedad de la v.E. La media y la varianza son casos particulares de momentos.

Se definen los momentos no centrales o respecto al origen como:

tema 5

Las Medidas de Forma cuantifican algunos aspectos sobre la representación gráfica.

Simetría

Apuntamiento o curtosis

Antes de analizarlas definiremos los tipos de Distribuciones:

- Distribuciones campaniforme: El mayor número de observaciones se concentran en valores de la variable mas o menos centrales.

- Distribución normal. Se caracteriza por ser campaniforme y simétrica