Propiedades Fundamentales de Continuidad y Teoremas Clave en Cálculo Diferencial

Definición de Continuidad de una Función

Una función $f$ es **continua** en un punto de abscisa $x_0$ si y solo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

1. Existe el **límite** de $f$ cuando $x$ tiende a $x_0$: $\lim_{x \to x_0} f(x)$ existe.
2. La función está **definida** en $x_0$: $f(x_0)$ existe.
3. Los dos valores anteriores coinciden: $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$.

Continuidad Lateral

Una función $f$ es **continua por la izquierda** en un punto de abscisa $x_0$ si existe el **límite por la izquierda** en ese punto y coincide con el valor de la función en $x_0$.

$f$ es continua por la izquierda en $x_0$ si y solo si $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0)$.

Tipos de Discontinuidades

Discontinuidad Evitable (D. Ev.)

Ocurre cuando el límite de la función en $x_0$ existe y es finito, pero no coincide con el valor de la función en $x_0$, o bien la función no está definida en $x_0$.

Discontinuidades No Evitables (D. No. Ev.)

Discontinuidad de Primera Especie (Salto Finito)

Se produce un **salto finito** en un punto de abscisa $x_0$ cuando existen los **límites laterales**, pero son finitos y distintos:

• $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = L_1$ y $\lim_{x \to x_0^+} f(x) = L_2$, con $L_1 \neq L_2$.

Discontinuidad de Salto Infinito

Se produce un **salto infinito** en un punto de abscisa $x_0$ cuando los límites laterales son $\pm\infty$, o bien cuando uno es finito y el otro es $\pm\infty$.

Discontinuidad de Segunda Especie

Se refiere a la **discontinuidad no evitable de segunda especie** en un punto de abscisa $x_0$ cuando uno o los dos **límites laterales no existen** (no son finitos ni infinitos definidos).

Conceptos Relacionados con la Derivación

Tasa de Derivación Media

Es el **cociente** entre el incremento que experimentan la variable dependiente ($\Delta y$) y el incremento de la variable independiente ($\Delta x$).

Teoremas Fundamentales de Funciones Continuas

Propiedades Locales

• Conservación del Signo: Si una función $f$ es continua en un punto y su valor es distinto de cero ($f(x_0) \neq 0$), existe un **entorno** del punto en el cual la función tiene el **mismo signo**.
• Acotación en un Punto: Si una función $f$ es continua en un punto, existe un entorno del mismo en el cual la función está **acotada**.

Teoremas en Intervalos Cerrados

Teorema de Bolzano

Si la función $f$ es **continua en un intervalo cerrado** $[a, b]$ y el signo de $f$ en los extremos del intervalo es distinto ($f(a) \cdot f(b) < 0$), entonces existe, al menos, un punto $c$ perteneciente al intervalo abierto $(a, b)$ donde la función se anula ($f(c) = 0$).

Teorema de Darboux (Valor Intermedio)

Si una función $f$ es **continua en un intervalo cerrado** $[a, b]$, para dos puntos distintos del mismo, que se correspondan a valores distintos de la función ($f(x_1)$ y $f(x_2)$), esta toma, por lo menos una vez, **todos los valores comprendidos** entre ambos valores funcionales.

Teorema de Acotación en un Intervalo Cerrado

Si una función $f$ es **continua en un intervalo cerrado**, entonces está **acotada** en él.

Teorema de Weierstrass (Extremos)

Una función $f$ **continua en un intervalo cerrado** alcanza en este intervalo su **máximo y mínimo absoluto**.