Propiedades de los Estimadores y Fundamentos de Inferencia Estadística

Propiedades de los estimadores

• Insesgadez: El estadístico es un estimador insesgado del parámetro θ si la esperanza matemática del estimador θ es igual al parámetro θ para todo θ.
• Eficiencia: Un estimador θ del parámetro poblacional θ es eficiente si es insesgado y, además, si su varianza alcanza la cota de Fréchet-Cramér-Rao.
• Suficiencia: Sea (X₁, ..., Xₙ) una muestra aleatoria de la población cuya distribución depende de un parámetro desconocido. Diremos que el estimador es suficiente para el parámetro θ si la distribución condicionada (X₁, ..., Xₙ) dado el valor estadístico T=t, no depende del parámetro θ.
• Consistencia: Una sucesión de estimadores es consistente si la sucesión converge en probabilidad hacia el parámetro θ.

Método de los momentos

Introducido por Pearson, es el método más antiguo y sencillo para la obtención de estimadores de parámetros poblacionales:

• Insesgadez: Si los parámetros desconocidos son momentos poblacionales respecto al origen, los estimadores obtenidos son insesgados.
• Consistencia: Bajo condiciones generales, los estimadores obtenidos son consistentes.
• Normalidad asintótica: Si los parámetros desconocidos son los momentos poblacionales, los estimadores obtenidos son asintóticamente normales.

Contraste de hipótesis

Una hipótesis estadística es cualquier afirmación, verdadera o falsa, realizada sobre alguna característica desconocida de la población:

• H₀ (Hipótesis nula): La hipótesis base.
• H₁ (Hipótesis alternativa): Hipótesis complementaria o contraria a la hipótesis nula.
• Región crítica: Conjunto de muestras para las cuales el estadístico toma valores con los que se rechaza H₀.
• Región de aceptación: Conjunto complementario de muestras para las que el estadístico toma valores con los que se acepta H₀.
• Error de tipo I: Se comete al rechazar H₀ cuando es verdadera.
• Error de tipo II: Se comete al aceptar H₀ cuando es falsa.

Fases de un contraste

1. Formular H₀ y H₁.
2. Determinar el estadístico.
3. Determinar el nivel de significación.
4. Determinar la región crítica o de rechazo.
5. Calcular el valor del estadístico.
6. Decisión e interpretación.