Propiedades de la adición y divisibilidad en matemáticas

SUMA

Adición números enteros con valor absoluto

(+3)+(+2) = [(3,0)] + [(2,0)] = [(3+2,0)] = [(5,0)]

(-3)+ (+2) = [(0,3)] + [(2,0)] = [(2,3)] = [(0,1)] = -1

Propiedades de la adición en N:

Clausura: La suma de dos números naturales es otro número natural.

Asociativa: (a+b)+c = a+(b+c)

Commutativa: a+b = b+a

Existencia de elemento neutro: el natural 0; a+0=0+a = a, ∀ a ∈ N

Propiedades de la adición en Z:

Clausura: La suma de dos números enteros es otro número entero.

Asociativa: (a+b)+c = a+(b+c)

Commutativa: a+b = b+a

Existencia de elemento neutro: el natural 0; a+0=0+a = a, ∀ a ∈ N

Existencia del elemento simétrico de (a,b) será (b,a), porque (a+b , b+a) es un elemento de la clase del (0,0). Al elemento simétrico por la adición de cualquier entero se le llama opuesto. Está claro que el opuesto de +a es –a y al revés y que el elemento neutro (0,0) es el simétrico de sí mismo. El opuesto de a es –a.

La relación de divisibilidad tiene las siguientes propiedades:

• Si un número es divisor de otros dos entonces es divisor de su suma. a/b+c
• Si un número es divisor de otros dos entonces es divisor de su diferencia. a/b-c
• Si un número es divisor de otro entonces es divisor de cualquiera de sus múltiplos. a (n1·n) = b·n
• Si un número es divisor de otro y multiplicamos los dos números por una misma cantidad la relación de divisibilidad se sigue conservando.  Axn=b·x
• Si un número es divisor de otros dos entonces es divisor de su producto. a/b·c
• Si un número es divisor de otro entonces es divisor de cualquiera de sus potencias de exponente natural mayor o igual que uno. a/b^n
• La unidad es divisor de todos los números naturales. 1/n
• Todo número natural es divisor de sí mismo. a/a
• Todo número natural es divisor de cero. a/0

DEFINICIONES

Números enteros, su conjunto está formado por Z={…,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,…}. Los naturales, sus opuestos (negativos) y el cero. Se dividen en tres partes: enteros positivos o números naturales, enteros negativos y cero. Z =Z- u {0} Z+. Dado que los enteros contienen los enteros positivos, se considera que los números naturales son un subconjunto de los enteros N C Z

2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97.un número primoesun número natural mayor que 1 que tiene únicamente dos divisores distintos: él mismo y el 1.

El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta al suprimir su signo.  El valor absoluto lo escribiremos entre barras verticales.

Dos enteros negativos es mayor el que tiene menor valor absoluto -7,-10. -7 mayor.

Dos enteros positivos es mayor el que tiene mayor valor absoluto. 7,10 10 mayor.

Un número perfecto es un número natural que es igual a la suma de sus divisores propios positivos. Dicho de otra forma, un número perfecto es aquel que es amigo de sí mismo. Así, 6 es un número perfecto porque sus divisores propios son 1, 2 y 3; y 6 = 1 + 2 + 3. Los siguientes números perfectos son 28, 496 y 8128.

Un número es abundante si la suma de sus divisores propios es mayor que el propio número como el 78.

Crit.divisibilidad. 2(acaba en nº par) 3 (suma de sus cifras, múltiplo de 3) 4(dos últimas cifras divisible por 4), 5 (acaba en 0,5), 6 (crit.3,2), 8(3 últimas cifras divisibles entre 8), 9 (suma de sus cifras múltiplo de 9), 10 (acaba en 0), 11( suma de los pares – suma de los impares=0 o mult de 11)

DIVISOR: Dados dos números naturales a y b decimos que a es un divisor de b si existe un número natural n que multiplicado por a es igual a b, na = b. Dados dos números naturales a≠ 0y b decimos que a es un divisor de b si al efectuar la división entera de b por a se obtiene resto cero.

a≠0. Al dividir b entre a obtendremos cociente n y resto cero. Por otra parte, si se cumple la segunda, b tendrá que ser igual al divisor a por el cociente q y ya hemos encontrado un número natural que multiplicado por a da b.

MÚLTIPLO: se dice que a es múltiplo de b si existe un número entero n que multiplicado por b es igual a a, a = nb.

Las siguientes expresiones son equivalentes:

a es un divisor o factor de b ..b es un múltiplo de a …a divide a b …b es divisible por a  

Para indicar que a es divisor de b se utiliza la notación a | b