Probabilidades
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Teorema de la Probabilidad Total
Si A1, A2,... , Anson: Sucesos incompatibles 2 a 2.
Y cuya unión es el espacio muestral (A1
A2...An= E).
Y B es otro suceso.
Resulta que:
p(B) = p(A1) · p(B/A1) + p(A2) · p(B/A2) + ... + p(An) · p(B/An)
Ejemplo
Se dispone de tres cajas con bombillas. La primera contiene 10 bombillas, de las cuales hay cuatro fundidas; en la segunda hay seis bombillas, estando una de ellas fundida, y la tercera caja hay tres bombillas fundidas de un total de ocho. ¿Cuál es la probabilidad de que al tomar una bombilla al azar de una cualquiera de las cajas, esté fundida?
Teorema de Bayes
Si A1, A2,... , Anson: Sucesos incompatibles2 a 2.
Y cuyauniónes elespacio muestral(A1A2...An= E).
Y B es otro suceso.
Resulta que:
Las probabilidadesp(A1)se denominanprobabilidades a priori.
Las probabilidadesp(Ai/B)se denominanprobabilidades a posteriori.
Las probabilidadesp(B/Ai)se denominan verosimilitudes.
Ejemplos
El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de los economistas también, mientras que los no ingenieros y los no economistas solamente el 20% ocupa un puesto directivo. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero?
La probabilidad de que haya un accidente en una fábrica que dispone de alarma es 0.1. La probabilidad de que suene esta sí se ha producido algún incidente es de 0.97 y la probabilidad de que suene si no ha sucedido ningún incidente es 0.02.
En el supuesto de que haya funcionado la alarma, ¿cuál es la probabilidad de que no haya habido ningún incidente?
Sean los sucesos:
I = Producirse incidente.
A = Sonar la alarma.
Un experimento sigue el modelo de la distribución binomial si:
1. En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados: el suceso A (éxito) y su contrario .
2. La probabilidad del suceso A es constante, es decir, que no varía de una prueba a otra. Se representa por p.
3. El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos anteriormente.
Variable aleatoria binomial
La variable aleatoria binomial, X, expresa el número de éxitos obtenidos en cada prueba del experimento.
La variable binomial es una variable aleatoria discreta, sólo puede tomar los valores 0, 1, 2, 3, 4, ..., n suponiendo que se han realizado n pruebas.
Ejemplo
k = 6, al lanzar una moneda 10 veces y obtener 6 caras.
Distribución binomial
La distribución binomial se suele representar por B(n, p). n es el número de pruebas de que consta el experimento. p es la probabilidad de éxito.
La probabilidad de
n es el número de pruebas.
k es el número de éxitos.
p es la probabilidad de éxito.
q es la probabilidad de fracaso.
El número combinatorio: 
2.¿Y cómo máximo 2?
Algunos estadísticos
Media
Varianza
Desviación típica
Ejemplo
La probabilidad de que un artículo producido por una fabrica sea defectuoso es 0.02. Se envió un cargamento de 10.000 artículos a unos almacenes. Hallar el número esperado de artículos defectuosos, la varianza y la desviación típica.
Ejercicios de distribución binomial
1. Se lanza una moneda cuatro veces. Calcular la probabilidad de que salgan más caras que cruces.
2. Un agente de seguros vende pólizas a cinco personas de la misma edad y que disfrutan de buena salud. Según las tablas actuales, la probabilidad de que una persona en estas condiciones viva 30 años o más es 2/3. Hállese la probabilidad de que, transcurridos 30 años, vivan:
1. Las cinco personas.
2. Al menos tres personas.
3. Exactamente dos personas.
3. Si de seis a siete de la tarde se admite que un número de teléfono de cada cinco está comunicando, ¿cuál es la probabilidad de que, cuando se marquen 10 números de teléfono elegidos al azar, sólo comuniquen dos?
4. La probabilidad de que un hombre acierte en el blanco es 1/4. Si dispara 10 veces ¿cuál es la probabilidad de que acierte exactamente en tres ocasiones? ¿Cuál es la probabilidad de que acierte por lo menos en una ocasión?
5. En una urna hay 30 bolas, 10 rojas y el resto blancas. Se elige una bola al azar y se anota si es roja; el proceso se repite, devolviendo la bola, 10 veces. Calcular la media y la desviación típica.