Principios Fundamentales de la Hidrodinámica: Bernoulli, Continuidad y Cálculo de Potencia

. Ecuación de Bernoulli

Fórmula General:

P+12ρv2+ρgh=constanteP + \frac{1}{2} \rho v^2 + \rho g h = \text{constante}P+21​ρv2+ρgh=constante

Entre dos puntos:

P1+12ρv12+ρgh1=P2+12ρv22+ρgh2P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 + \rho g h_1 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho g h_2P1​+21​ρv12​+ρgh1​=P2​+21​ρv22​+ρgh2​

• PPP: presión (Pa)
• ρ\rhoρ: densidad del fluido (kg/m³)
• vvv: velocidad del fluido (m/s)
• ggg: gravedad (9.81 m/s²)
• hhh: altura desde un plano de referencia (m)

Ejemplo de Bernoulli:

Un fluido con ρ=1000 kg/m3\rho = 1000 \, \text{kg/m}^3ρ=1000kg/m3 fluye entre dos puntos.
En el punto 1:

• P1=200,000 PaP_1 = 200{,}000 \, \text{Pa}P1​=200,000Pa
• v1=2 m/sv_1 = 2 \, \text{m/s}v1​=2m/s
• h1=5 mh_1 = 5 \, \text{m}h1​=5m

En el punto 2:

• v2=5 m/sv_2 = 5 \, \text{m/s}v2​=5m/s
• h2=2 mh_2 = 2 \, \text{m}h2​=2m

Calcula P2P_2P2​:

P2=P1+12ρ(v12−v22)+ρg(h1−h2)P_2 = P_1 + \frac{1}{2} \rho (v_1^2 - v_2^2) + \rho g (h_1 - h_2)P2​=P1​+21​ρ(v12​−v22​)+ρg(h1​−h2​) P2=200000+12(1000)(22−52)+1000(9.81)(5−2)P_2 = 200000 + \frac{1}{2}(1000)(2^2 - 5^2) + 1000(9.81)(5 - 2)P2​=200000+21​(1000)(22−52)+1000(9.81)(5−2) P2=200000+500(−21)+1000(9.81)(3)P_2 = 200000 + 500(-21) + 1000(9.81)(3)P2​=200000+500(−21)+1000(9.81)(3) P2=200000−10500+29430=218930 PaP_2 = 200000 - 10500 + 29430 = 218930 \, \text{Pa}P2​=200000−10500+29430=218930Pa

Fórmula:

A1v1=A2v2A_1 v_1 = A_2 v_2A1​v1​=A2​v2​

• AAA: área de la sección transversal (m²)
• vvv: velocidad del fluido (m/s)

Ejemplo de Continuidad:

Una tubería se estrecha de un diámetro de 10 cm a 5 cm. Si la velocidad inicial es v1=2 m/sv_1 = 2 \, \text{m/s}v1​=2m/s, ¿cuál es v2v_2v2​?

A1=π(0.12)2=7.85×10−3 m2A_1 = \pi \left(\frac{0.1}{2}\right)^2 = 7.85 \times 10^{-3} \, \text{m}^2A1​=π(20.1​)2=7.85×10−3m2 A2=π(0.052)2=1.96×10−3 m2A_2 = \pi \left(\frac{0.05}{2}\right)^2 = 1.96 \times 10^{-3} \, \text{m}^2A2​=π(20.05​)2=1.96×10−3m2 v2=A1v1A2=7.85×10−3×21.96×10−3≈8 m/sv_2 = \frac{A_1 v_1}{A_2} = \frac{7.85 \times 10^{-3} \times 2}{1.96 \times 10^{-3}} \approx 8 \, \text{m/s}v2​=A2​A1​v1​​=1.96×10−37.85×10−3×2​≈8m/s

3. Potencia de una bomba

Fórmula de potencia hidráulica ideal:

P=ρgQHP = \rho g Q HP=ρgQH

• PPP: potencia en watts (W)
• QQQ: caudal volumétrico (m³/s)
• HHH: altura total o carga (m)
• ρ\rhoρ: densidad del fluido (kg/m³)
• ggg: gravedad (9.81 m/s²)

Con eficiencia η\etaη:

Preal=ρgQHηP_{\text{real}} = \frac{\rho g Q H}{\eta}Preal​=ηρgQH​

Ejemplo de potencia de bomba:

• Caudal: Q=0.01 m3/sQ = 0.01 \, \text{m}^3/\text{s}Q=0.01m3/s
• Altura: H=15 mH = 15 \, \text{m}H=15m
• Densidad:
  Ρ=1000 kg/m3\rho = 1000 \, \text{kg/m}^3ρ=1000kg/m3
• Eficiencia: η=0.75\eta = 0.75η=0.75

Potencia ideal:

P=1000×9.81×0.01×15=1471.5 WP = 1000 \times 9.81 \times 0.01 \times 15 = 1471.5 \, \text{W}P=1000×9.81×0.01×15=1471.5W

Potencia real:

Preal=1471.50.75≈1962 WP_{\text{real}} = \frac{1471.5}{0.75} \approx 1962 \, \text{W}Preal​=0.751471.5​≈1962W