Principios de Biomecánica: Modelado Musculoesquelético y Propiedades de los Materiales

1. Modelado Biomecánico del Cuerpo Humano

1) Una persona se encuentra apoyada momentáneamente sobre una sola pierna, situación que ocurre al caminar o correr. Para analizarla, se modela la pierna como un cuerpo rígido en equilibrio. El punto O representa el centro de rotación de la articulación de la cadera; el punto A corresponde a la inserción del músculo abductor en el fémur; el punto B es el centro de gravedad de la pierna, donde actúa su peso W1=125 N; y el punto C es donde actúa la fuerza reactiva del suelo, asociada al peso total de la persona W. Se conocen las distancias a=8.6 cm, b=34.3 cm, c=89.4 cm, los ángulos α=43°, β=79°, y la fuerza muscular del abductor FM=2062.6 N, cuya línea de acción forma θ=69° con la horizontal. Con estos datos, se debe determinar el peso total de la persona W, la magnitud de la fuerza de reacción en la articulación de la cadera FJ, y el ángulo γ que forma dicha reacción con la horizontal.

Datos: a=0.086 m, b=0.343 m, c=0.894 m, α=43°, β=79°, θ=69°, FM=2062.6 N, W1=125 N.

• Primero se hace equilibrio de momentos respecto a O, porque FJ pasa por O y no genera momento.
• Se calculan los brazos: dM=a·sin(θ−α)=0.086·sin(26°)=0.0377 m, bx=b·cos(β)−a·cos(α)≈0.00255 m, y cx=c·cos(β)−a·cos(α)≈0.107 m.
• Luego: ΣMO=0, entonces W·cx−W1·bx−FM·dM=0, por lo tanto W=(FM·dM+W1·bx)/cx.
• Reemplazando: W=[2062.6(0.0377)+125(0.00255)]/0.107=729.7 N.
• Después se descompone la fuerza muscular: FMx=FM·cos(θ)=2062.6·cos(69°)=739.2 N, y FMy=FM·sin(θ)=2062.6·sin(69°)=1925.6 N.
• Por equilibrio horizontal: ΣFx=0, entonces FJx=−739.2 N.
• Por equilibrio vertical: ΣFy=0, entonces FJy+FMy+W−W1=0, por lo que FJy=125−1925.6−729.7=−2530.3 N.
• Finalmente: FJ=√(FJx²+FJy²)=√(739.2²+2530.3²)=2636.1 N, y γ=tan⁻¹(|FJy|/|FJx|)=tan⁻¹(2530.3/739.2)=73.7°.

2) Se analiza a un levantador de pesas mientras intenta levantar unas mancuernas. Para simplificar el problema, se modela la parte baja del cuerpo como un cuerpo rígido en equilibrio. El punto O representa la articulación entre el sacro y la quinta vértebra lumbar; el punto A es donde actúan los músculos posteriores; el punto B es el centro de gravedad de la parte baja del cuerpo, donde actúa W1=333 N; y el punto C es donde actúa la reacción del suelo. Se conocen los brazos de momento respecto a O: a=3.6 cm, b=14.6 cm y c=22 cm. Además, los músculos posteriores ejercen una fuerza FM=6856 N, con un ángulo θ=43° respecto a la vertical, y las mancuernas pesan W0=637 N. Con estos datos, se pide calcular el peso del atleta W, la fuerza de reacción articular FJ y el ángulo α que forma esa reacción con la horizontal. Los resultados esperados son: W=705.9 N, FJ=7625.8 N y α=52°.

3) Se analiza a una persona que realiza un ejercicio de hombro con el brazo completamente extendido y sosteniendo una mancuerna. El brazo se modela como un cuerpo rígido en equilibrio, con el punto O como eje de rotación del hombro. El punto A corresponde a la inserción del músculo deltoides, el punto B al centro de gravedad del brazo y el punto C al centro de gravedad de la mancuerna. Se conocen las distancias a=17 cm, b=33 cm y c=63 cm. La mancuerna pesa W0=63 N, la fuerza del músculo es FM=1051 N, y las líneas de acción de FM y FJ forman ángulos de 18° y 12° con la horizontal. Con estos datos se pide calcular la reacción articular del hombro FJ, el peso total del brazo W, y los nuevos valores de fuerza muscular y reacción articular si la mancuerna aumenta su peso en 5 N. Los resultados esperados son: FJ=1021.9 N, W=47.3 N, FM1=1136.5 N y FJ1=1105 N.

4) Se analiza a una persona sentada realizando flexión-extensión de la pierna baja con una bota con peso. La pierna se modela como un cuerpo rígido en equilibrio, donde el punto O es el centro de rotación de la articulación tibio-femoral, A es la unión del tendón patelar con la tibia, B es el centro de gravedad de la pierna baja y C es el centro de gravedad de la bota. Los puntos O, A, B y C están alineados, con distancias a=13 cm, b=23.5 cm y c=53 cm. La tibia forma un ángulo β=47° con la horizontal, y la fuerza del cuádriceps FM=1940 N forma un ángulo θ=17° respecto al eje de la tibia. Además, el peso de la pierna baja es W1=163 N. Con estos datos se pide calcular el peso de la bota W0, la fuerza de reacción articular FJ y el ángulo ϕ que forma esa reacción con la horizontal.

5) Un hombre de 75 kg se mantiene de puntillas sobre un solo pie, generando una fuerza hacia arriba mediante el tendón de Aquiles. A partir del modelo biomecánico del pie, se pide calcular la fuerza ejercida por el tendón de Aquiles FA y la fuerza del pivote FB. Los resultados esperados son: FA=2.21×10³ N hacia arriba y FB=2.94×10³ N hacia abajo.

6) El tendón de Aquiles ejerce una fuerza Ft=650 N cuando una persona intenta levantarse sobre la punta de los pies. Al mismo tiempo, cada pie recibe una fuerza reactiva del piso Nf=400 N. Se pide calcular el momento resultante que producen ambas fuerzas respecto a la articulación del tobillo en A. El resultado esperado es MR/A=2.09 N·m, en sentido horario.

6) Se analiza el modelo biomecánico del pie de un velocista justo antes de iniciar una carrera. En el sistema actúan la fuerza del tendón de Aquiles FH, la fuerza normal del suelo y la fuerza articular del tobillo FJ. Se pide determinar la magnitud de FH y FJ, considerando que el punto de aplicación del tendón y el de la articulación están a la misma altura.

7) En una cirugía de reemplazo total de cadera, la inserción del músculo glúteo medio se mueve 10 mm hacia medial, cambiando la geometría del músculo y su capacidad para generar momento sobre la cadera. (a) Comparar el brazo de momento r del glúteo medio antes y después de la cirugía. (b) Durante el apoyo en una sola pierna, calcular la fuerza que debe generar el músculo abductor para equilibrar la cadera antes y después de la cirugía. Usar W=800 N, d=100 mm.

8) Se busca determinar la ubicación del centro de gravedad de un paciente de 80 kg acostado sobre una camilla horizontal. Para ello, se usan dos balanzas previamente taradas, que registran W1=418.95 N y W2=325.85 N. Se pide dibujar el diagrama de cuerpo libre del sistema y calcular a qué distancia de los pies se encuentra el centro de gravedad del paciente.

9) La barra uniforme AB pesa 40 kgf y puede girar libremente alrededor de la articulación en B. Un hombre de 80 kgf está sobre la barra y tira verticalmente de una cuerda que ayuda a sostenerla. La cuerda pasa por un semicilindro fijo con coeficiente de roce μ=0.4. Se pide calcular la fuerza vertical mínima que debe ejercer el hombre para mantener el equilibrio del sistema. Resultado esperado: 31.91 kgf.

10) Un hombre de 80 kgf tira verticalmente de una cuerda liviana para levantar un bloque de 25 kgf. Se pide calcular la fuerza F que realiza el hombre en función del ángulo θ, graficar esa relación y comentar cómo cambia la fuerza al variar el ángulo. Además, se debe determinar la tensión máxima de la cuerda y el ángulo límite cuando el hombre ya no puede seguir levantando el bloque.

2. Conceptos Fundamentales de Biomecánica

• Contribuciones de Borelli y Fung: Borelli aplicó la mecánica clásica al cuerpo humano (locomoción y sistema musculoesquelético). Y.C. Fung desarrolló la biomecánica moderna mediante modelos matemáticos para tejidos biológicos.
• Eficiencia ósea: Los huesos son eficientes debido a su estructura porosa y distribuida estratégicamente, combinando zonas compactas y trabeculares para maximizar resistencia con bajo peso.
• Remodelado óseo: La actividad física genera cargas que, si son adecuadas, estimulan la densidad ósea. Los osteocitos detectan el estímulo mecánico y coordinan la acción de osteoclastos (resorción) y osteoblastos (formación).
• Articulaciones sinoviales: Permiten gran movilidad y baja fricción. El envejecimiento o desgaste del cartílago aumenta la fricción, provocando dolor y rigidez.

3. Propiedades de los Materiales Biológicos

• Ecuación constitutiva: Relaciona esfuerzo (stress) y deformación (strain), describiendo el comportamiento intrínseco del material.
• Sólido hookeano vs. Fluido newtoniano: El sólido hookeano tiene una relación lineal esfuerzo-deformación (σ=Eε), mientras que el fluido newtoniano relaciona esfuerzo con tasa de deformación (σ=ηε̇).
• Viscoelasticidad: Comportamiento dependiente del tiempo (creep y relajación de esfuerzos). Ejemplos: cartílago, tendón y piel.
• Sangre: Fluido no newtoniano cuya viscosidad disminuye al aumentar la tasa de deformación de corte debido a la alineación y deformación de los eritrocitos.